Викия

Математика

Теорема Стокса

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Общая формулировка Править

Пусть на ориентируемом многообразии M размерности n заданы ориентируемое p-мерное подмногообразие σ и дифференциальная форма ω степени p−1 класса C1 (1\leq p \leq n). Тогда если граница подмногообразия ∂σ положительно ориентирована, то

\int_\sigma d\omega = \int_{\partial \sigma} \omega,

где dω обозначает внешнюю производную формы ω.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия M.

Частные случаи Править

Формула Ньютона — Лейбница Править

Пусть дана кривая l, соединяющая две точки a и b (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма ω нулевой степени класса C1 — это дифференцируемая функция f. Формула Стокса тогда записывается в виде

\int_l df = \int_l f'\,dx = \int_a^b f =f(b)-f(a).

Формула Грина Править

Пусть Mплоскость, а D — её некоторая ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах x и y, — это выражение f1dx+f2dy, и для интеграла этой формы по границе области D верно

\int_{\partial D}f_1dx + f_2dy = \iint_{D}\left(\frac{\partial f_1}{\partial y}-\frac{\partial f_2}{\partial x}\right)dx\wedge dy.

Формула Стокса (в узком смысле), или формула Кельвина-Стокса Править

Пусть Σ — кусочно-гладкая поверхность (p = 2) в трёхмерном евклидовом пространстве (n = 3), F — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура ∂Σ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность Σ, ограниченную контуром:

 \int_{\Sigma}\operatorname{rot}\, \mathbf{F} \, \mathbf{d\Sigma} = \int_{\partial\Sigma} \mathbf{F}\, d \mathbf{r},

или в координатной записи

\iint\limits_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dxdy=\int_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.

Формула Остроградского Править

Пусть теперь ∂V — кусочно-гладкая гиперповерхность (p = n−1), ограничивающая некоторую область V в n-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равна потоку поля через границу области ∂V:

\int_V \operatorname{div} \,\mathbf{F}\, dV=\int_{\partial V} \mathbf{F} \, \mathbf{d\Sigma}.

Литература Править

См. также Править


ca:Teorema de Stokes

cs:Stokesova větahe:משפט סטוקסlmo:Teurema da Stokes pl:Twierdzenie Stokesasv:Stokes sats

Викия-сеть

Случайная вики