Викия

Математика

Теорема Рауса — Гурвица

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теорема РаусаГурвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу.

Условные обозначения Править

Пусть f(z)многочлен Гурвица над комплексными числами. f не имеет комплексных коэффициентов и все корни f лежат в левой полуплоскости. Разложим f в положительную пару:

f(z)=g(z^2)+zh(z).

Обозначим коэффициенты g как a_j^0, а h — как a_j^1. Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть ведущим коэффициентом многочлена g является a_0^0.


Формулировка Править

Критерий стабильности Гурвица Править

См. также основную статью: Критерий Гурвица

Опередлим матрицу Гурвица как выстроенныек «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

H_f=\begin{pmatrix}a_1^1 & a_3^1 & \dots & a_n^1 & &\\
a_0^2 & a_2^2 & \dots & a_n^2 & &\\
      & a_1^1 & a_3^1 & \dots & a_n^1 &\\
      & a_0^2 & a_2^2 & \dots & a_n^2 &\\
      & \vdots &      &       & \vdots &\\
      &        &      &       & \dots  & a_n^1 \end{pmatrix},

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если f — многочлен Гурвица. и наоборот.

Критерий стабильности Рауса Править

См. также основную статью: Критерий Рауса

Цепочка Штурма начинаюшаяся многочленами g и h определяет последовательность a_0^1, a_0^2, \dots, a_0^n ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если f — многочлен Гурвица, и наоборот.

  • Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
  • Обратите также внимание, что в записи a_0^i число i — индекс, а не степень.

Эквивалентность Править

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют стабильные по Гурвицу многочлены.

Доказательство Править

Шаблон:Дополнить Применив метод Гаусса к матрице H_f мы получим диагональную матрицу H_f^*. Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы h_{j,j}^* трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу H_f, мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты h^*_{j,j} соответствуют коэффициентам a_0^j, мы и получим критерий Рауса.

Значение теоремы Править

Наравне с теоремой Стильеса, теорема Рауса — Гурвица дает способы характеризации стабильных многочленов. Стабильность — свойство важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразованная стабильна. Она является таковой, если многочлен Лоурента в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме стабильности «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критеориев Рауса и Гурвица дает больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

См. также Править


Шаблон:Translate-stub

Викия-сеть

Случайная вики