ФЭНДОМ


Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

ФормулировкаПравить

Пусть $ (X,\mathcal{F},\mu) $ - пространство с мерой и мера $ \mu $ σ-конечна. Тогда если мера $ \nu: \mathcal{F} \to \mathbb{R} $ абсолютно непрерывна относительно $ \mu $ $ (\nu \ll \mu) $, то существует измеримая функция $ f:X \to \mathbb{R} $, такая что

$ \nu(A) = \int\limits_{A} f(x)\, \mu(dx),\quad \forall A \in \mathcal{F} $,

где интеграл понимается в смысле Лебега.

ЗамечаниеПравить

Теорема справедлива и для знакопеременных мер (зарядов) и для комплекснозначных мер.

Производная Радона — НикодимаПравить

Функция $ f $, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется произво́дной Радо́на — Нико́дима меры $ \nu $ относительно меры $ \mu $. Пишут:

$ f = \frac{d\nu}{d \mu} $.

Если $ (X,\mathcal{F}) = \left(\mathbb{R}^k,\mathcal{B}(\mathbb{R}^k)\right) $ - $ k $-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, $ \nu = \mathbb{P}^{X} $ - распределение некоторой случайной величины $ X $, а $ \mu = m $ - мера Лебега на $ \mathbb{R}^k $, то производная Радона — Никодима меры $ \mathbb{P}^X $ относительно меры $ m $ называется плотностью распределения случайной величины $ X $.

СвойстваПравить

  • Пусть $ \lambda,\mu,\nu $ - σ-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве $ (X,\mathcal{F}) $. Тогда если $ \mu \ll \lambda $ и $ \nu \ll \lambda $, то
$ \frac{d(\mu+\nu)}{d\lambda} = \frac{d\mu}{d\lambda} + \frac{d\nu}{d\lambda} $.
  • Пусть $ \nu \ll \mu \ll \lambda $. Тогда
$ \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda} $ $ \lambda $-почти всюду.
  • Пусть $ \mu \ll \lambda $ и $ g:X \to \mathbb{R} $ - измеримая функция, интегрируемая относительно меры $ \mu $, то
$ \int\limits_X g(x)\,\mu(dx) = \int\limits_X g(x)\frac{d\mu}{d\lambda}(x)\,\lambda(dx) $.
  • Пусть $ \mu \ll \nu $ и $ \nu \ll \mu $. Тогда
$ \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1} $.

Пусть $ \nu $ - конечная знакопеременная или комплексная мера. Тогда

$ {d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right| $.

См. такжеПравить