Викия

Математика

Теорема Радона — Никодима

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

ФормулировкаПравить

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) - пространство с мерой и мера \mu σ-конечна. Тогда если мера \nu: \mathcal{F} \to \mathbb{R} абсолютно непрерывна относительно \mu (\nu \ll \mu), то существует измеримая функция f:X \to \mathbb{R}, такая что

\nu(A) = \int\limits_{A} f(x)\, \mu(dx),\quad \forall A \in \mathcal{F},

где интеграл понимается в смысле Лебега.

ЗамечаниеПравить

Теорема справедлива и для знакопеременных мер (зарядов) и для комплекснозначных мер.

Производная Радона — НикодимаПравить

Функция f, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется произво́дной Радо́на — Нико́дима меры \nu относительно меры \mu. Пишут:

f = \frac{d\nu}{d \mu}.

Если (X,\mathcal{F}) = \left(\mathbb{R}^k,\mathcal{B}(\mathbb{R}^k)\right) - k-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, \nu = \mathbb{P}^{X} - распределение некоторой случайной величины X, а \mu = m - мера Лебега на \mathbb{R}^k, то производная Радона — Никодима меры \mathbb{P}^X относительно меры m называется плотностью распределения случайной величины X.

СвойстваПравить

\frac{d(\mu+\nu)}{d\lambda} = \frac{d\mu}{d\lambda} + \frac{d\nu}{d\lambda}.
  • Пусть \nu \ll \mu \ll \lambda. Тогда
 \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda} \lambda-почти всюду.
  • Пусть \mu \ll \lambda и g:X \to \mathbb{R} - измеримая функция, интегрируемая относительно меры \mu, то
 \int\limits_X g(x)\,\mu(dx) = \int\limits_X g(x)\frac{d\mu}{d\lambda}(x)\,\lambda(dx).
  • Пусть \mu \ll \nu и \nu \ll \mu. Тогда
 \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}.

Пусть \nu - конечная знакопеременная или комплексная мера. Тогда

 {d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|.

См. такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики