Wikia

Математика

Теорема Пифагора

Обсуждение0
1427статей на этой вики

Теорема Пифагора— одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Доказательство Править

Известно, что существует около 350 доказательств теоремы Пифагора. Ниже приведено доказательство, основанное на теореме существования площади фигуры:

Pythagoras2
Pythagoras-2a

Пошаговая иллюстрация доказательства

  1. Расположим четыре прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
  2. Четырехугольник со сторонами с является квадратом, так как сумма двух острых углов 90^\circ, а развернутый угол — 180^\circ.
  3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны - сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.
(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2;
a^2+2ab+b^2=2ab+c^2;\frac{}{}
c^2=a^2+b^2;\frac{}{}

Что и требовалось доказать.

Обобщения Править

В случае ортогональной системы векторов \{v_k\}\frac{}{} имеет место равенство, также называемое теоремой Пифагора:

\sum_{k=1}^{n} \|v_k \|^2 = \left\|\sum_{k=1}^{n} v_k \right\|^2.

Если \{v_k\}\frac{}{} — это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида — и означает, что длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его компонентов.

Аналог этого равенства в случае бесконечной системы вектров носит название равенства Парсеваля.

См. также Править

Ссылки Править


Эта статья содержит материал из статьи Теорема Пифагора русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики