Викия

Математика

Теорема Ньютона — Лейбница

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Необходимо перенести в эту статью содержимое статьи Основная теорема анализа и поставить перенаправление.

Описание Теоремы Править

Если \textstyle f непрерывна на отрезке \left [ a,b \right ] и \textstyle \Phi — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

\int_a^b f(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Phi|_a^b

Доказательство Править

Пусть на отрезке \left [ a,b \right ] задана интегрируемая функция \textstyle f. Начнем с того, что отметим, что

\int_a^b f(x)\,dx =\int_a^b f(u)\,du

т. е. не имеет никакого значения, какая буква определяет значение \textstyle x \in \left [ a,b \right ] и определим новую функцию \textstyle F(x) = \int_a^x f(t) \,dt. Она определена для всех значений \textstyle x \in \left [ a,b \right ], потому что мы знаем, что если существует интеграл от \textstyle f на \left [ a,b \right ], то существует также интеграл от \textstyle f на \left [ a,x \right ], где a \leqslant x \leqslant b. Напомним, что мы считаем по определению

F(a) = \int_a^a f(t)\,dt = 0 (1)

Заметим, что

F(b) = \int_a^b f(t)\,dt

Покажем, что \textstyle F непрерывна на отрезке \left [ a,x \right ]. В самом деле, пусть x, x + h \in \left [ a,x \right ]; тогда

F(x + h) - F (x) = \int_a^{(x+h)} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt = \int_x^{(x+h)} f(t)\,dt

и если K = sup |f(t)|, a \leqslant t \leqslant b, то

|F(x + h) - F (x)| \leqslant \bigg| \int_x^{(x+h)} f(t)\,dt \bigg| \leqslant K |h|\to 0 , h\to 0

Таким образом, \textstyle F непрерывна на \left [ a,x \right ] независимо от того, имеет или не имеет \textstyle f разрывы; важно, что \textstyle f интегрируема на \left [ a,x \right ].

На рисунке изображен график \textstyle f. Площадь переменной фигуры \textstyle aABx равна \textstyle F(x). Ее приращение \textstyle F(x + h) - F(x) равно площади фигуры \textstyle xBC(x + h), которая в силу ограниченности \textstyle f, очевидно, стремится к нулю при h \to 0 независимо от того, будет ли \textstyle x точкой непрерывности или разрыва \textstyle f, например точкой \textstyle x - d.

Пусть теперь функция \textstyle f не только интегрируема на \left [ a,x \right ], но непрерывна в точке x \in \left [ a,x \right ]. Докажем, что тогда \textstyle F имеет в этой точке производную, равную

\textstyle F'(x) = f (x) (2)

В самом деле, для указанной точки \textstyle x

\dfrac{F (x+h) - F (x)}{h} = \dfrac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\,dt = \dfrac{1}{h} \int_x^{x+h} (f(x) +\eta (t)) \,dt  =\dfrac{1}{h} \int_x^{x+h} f(x)\,dt + \dfrac{1}{h} \int_x^{x+h} \eta(t)\,dt = f(x)+ o (1) ,   h \to 0 (3)

Мы положили \textstyle f(t) = f (x) + \eta(t), а так как \textstyle f (x) постоянная относительно \textstyle t,TO \textstyle \int_x^{x+h} f(x) \,dt = f(x)h . Далее, в силу непрерывности \textstyle f в точке \textstyle x для всякого \textstyle \varepsilon > 0 можно указать такое \textstyle \delta, что \textstyle |\eta(t)| < \varepsilon для \textstyle |x - t| < \delta.

Поэтому

\left | \dfrac{1}{h} \int_x^{x+h} \eta(t)\,dt \right | \leqslant \dfrac{1}{|h|}|h|\varepsilon = \varepsilon , |h| < \delta

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при \textstyle h \to 0 .

Переход к пределу в (3) при \textstyle h \to 0 показывает существование производной от \textstyle F в точке \textstyle x и справедливость равенства (2). При \textstyle x = a,b речь здесь идет соответственно о правой и левой производной.

Если функция \textstyle f непрерывна на \left [ a,b \right ], то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

 F(x) = \int_a^x f(t)\,dt (4)

имеет производную, равную \textstyle f(x): F'(x) = f(x) , a \leqslant x \leqslant b. Следовательно, функция \textstyle F(x) есть первообразная для \textstyle f на \left [ a,b \right ].

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке \left [ a,b \right ] функция \textstyle f имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.

Пусть теперь \textstyle \Phi есть произвольная первообразная функции \textstyle f(x) на \left [ a,b \right ]. Мы знаем, что \textstyle \Phi(x) = F(x) + C , где \textstyle C — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве \textstyle x = a и учитывая, что \textstyle F(a) = 0 , получим \textstyle \Phi(a) = C .

Таким образом, \textstyle F(x) = \Phi(x) - \Phi(a) . Но

\int_a^b f(x) \,dx = F(b)

Поэтому

\int_a^b f(x)\,dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Phi(x) \bigg| \begin{matrix}x = a \\ \\ x = b\end{matrix}

Викия-сеть

Случайная вики