Викия

Математика

Теорема Муавра — Лапласа

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение2 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теорема Муавра — Лапласа в теории вероятностей утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение.

Формулировка Править

(Интегральная Теорема Муавра — Лапласа)

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха 0\le p \le 1, то есть пусть дана последовательность независимых случайных величин \{X_n\}_{n=1}^{\infty}, где

X_n = \left\{
\begin{matrix}
1, & p \\
0, & 1-p.
\end{matrix}
\right., \quad n \in \mathbb{N}.

Определим Y_n, n\in \mathbb{N} как число успехов в первых n испытаниях:

Y_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i.

Тогда

\frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \stackrel{\mathcal{D}}{\to} \operatorname{N}(0,1),

то есть

\forall a,b\in \mathbb{R}\quad \bigl(a < b\bigr) \Rightarrow \left( \lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{P}\left(a \le \frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \le b \right) = \int\limits_{a}^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx \right).

Замечание Править

Теорема Муавра — Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы.

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики