Теорема Муавра — Лапласа в теории вероятностей утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение.
Формулировка [ ]
(Интегральная Теорема Муавра — Лапласа)
Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха
0
≤
p
≤
1
,
{\displaystyle 0\le p \le 1,}
то есть пусть дана последовательность независимых случайных величин
{
X
n
}
n
=
1
∞
,
{\displaystyle \{X_n\}_{n=1}^{\infty},}
где
X
n
=
{
1
,
p
0
,
1
−
p
.
,
n
∈
N
.
{\displaystyle X_n = \left\{
\begin{matrix}
1, & p \\
0, & 1-p.
\end{matrix}
\right., \quad n \in \mathbb{N}.
}
Определим
Y
n
,
n
∈
N
{\displaystyle Y_n, n\in \mathbb{N}}
как число успехов в первых
n
{\displaystyle n}
испытаниях:
Y
n
=
∑
i
=
1
n
X
i
.
{\displaystyle Y_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i.}
Тогда
Y
n
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
→
D
N
(
0
,
1
)
,
{\displaystyle \frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \stackrel{\mathcal{D}}{\to} \operatorname{N}(0,1),}
то есть
∀
a
,
b
∈
R
(
a
<
b
)
⇒
(
lim
n
→
∞
P
(
a
≤
Y
n
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
≤
b
)
=
∫
a
b
1
2
π
e
−
x
2
2
d
x
)
.
{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb{R}\quad \bigl(a < b\bigr) \Rightarrow \left( \lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{P}\left(a \le \frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \le b \right) = \int\limits_{a}^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx \right). }
Замечание [ ]
Теорема Муавра — Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы .
См. также [ ]