Викия

Математика

Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теорема Лиувиля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. Именно, если \alphaалгебраическое число степени n, а p и q — любые целые рациональные числа, то имеет место неравенство

\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^n}

тде C — положительная константа, зависящая только от \alpha и выражаемая в явном виде через сопряженные с \alpha величины.

С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например

\xi=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n!}}.

ОбобщенияПравить

При n=2 теорема Лиувиля дает неулучшаемый результат. Для n\ge 3 теорема Лиувиля неоднократно усиливалась.

В 1909 г. Туэ установил, что для алгебраических чисел \alpha степени n и \nu>\frac n2+1 справедливо неравенство

\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^\nu}.    (*)

Зигель (Siegel) улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при

\nu>\min_{s=\{1,\;2,\;\ldots,\;n-1\}}\left(\frac n{s+1}+s\right), где s — целое,

в частности при \nu>2\sqrt n. Позже Ф. Дайсон (F. I. Dyson) доказал справедливость этого неравенства при \nu>\sqrt {2n}. Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом \nu>2. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число \xi, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений p/q, удовлетворяющих неравенству

\left|\xi-\frac pq\right|<\frac 1 {q^2}.

Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная C=C(\alpha,\;\nu) в неравенстве зависит от величин \alpha и \nu.

СсылкиПравить

Викия-сеть

Случайная вики