ФЭНДОМ


Теорема о монотонной сходимости утверждает, что если последовательность неотрицательных функций монотонно сходится к предельной функции, то интегралы этих функций сходятся к интегралу предела. Эта теорема является важнейшим инструментом для доказательства многих положений функционального анализа и теории вероятностей.

Формулировка из функционального анализаПравить

Пусть фиксировано пространство с мерой $ (X,\mathcal{F},\mu) $. Предположим, что $ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} $ - монотонная и неотрицательная почти всюду последовательность измеримых и интегрируемых по Лебегу функций на $ X $. Тогда

$ \int\limits_X \lim\limits_{n\to \infty} f_n(x)\, \mu(dx) = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx). $

Формулировка из теории вероятностейПравить

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $ \Omega $, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть $ \{X_n\}_{n=1}^{\infty} $ - монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

$ \mathbb{E}\left[\lim\limits_{n\to \infty} X_n\right] = \lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}X_n $.


Эта статья содержит материал из статьи Теорема Леви о монотонной сходимости русской Википедии.