Викия

Математика

Теорема Леви о монотонной сходимости

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теорема о монотонной сходимости утверждает, что если последовательность неотрицательных функций монотонно сходится к предельной функции, то интегралы этих функций сходятся к интегралу предела. Эта теорема является важнейшим инструментом для доказательства многих положений функционального анализа и теории вероятностей.

Формулировка из функционального анализаПравить

Пусть фиксировано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu). Предположим, что \{f_n\}_{n=1}^{\infty} - монотонная и неотрицательная почти всюду последовательность измеримых и интегрируемых по Лебегу функций на X. Тогда

\int\limits_X \lim\limits_{n\to \infty} f_n(x)\, \mu(dx) = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx).

Формулировка из теории вероятностейПравить

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов \Omega, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть \{X_n\}_{n=1}^{\infty} - монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

\mathbb{E}\left[\lim\limits_{n\to \infty} X_n\right] = \lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}X_n.


Эта статья содержит материал из статьи Теорема Леви о монотонной сходимости русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики