Викия

Математика

Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

ФормулировкаПравить

Пусть фиксировано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu). Предположим, что \{f_n\}_{n=1}^{\infty} и f - интегрируемые функции на X, причём f_n(x) \to f(x) п.в. Тогда если существует определенная на том же пространстве интегрируемая функция g, такая что \forall n \in \mathbb{N}\quad |f_n(x)| \leq g(x) п.в., то функции f_n, f интегрируемы и

\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mu(dx).

ЗамечаниеПравить

Условие мажорированности последовательности \{f_n\} интегрируемой функцией f принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть (X,\mathcal{F},\mu) = ([0,1],\mathcal{B},m), где \mathcal{B} - борелевская σ-алгебра на [0,1], а m - мера Лебега на том же пространстве. Определим

f_n(x) = \left\{
\begin{matrix}
n, & x \in \left[0,\frac{1}{n}\right) \\[10pt]
0, & x \in \left[\frac{1}{n},1\right]
\end{matrix} \right..

Тогда последовательность \{f_n\} не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

\int\limits_0^1\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx).

Приложение к теории вероятностейПравить

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов \Omega, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся п.н. последовательность случаных величин: X_n \to X п.н. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина Y, такая что \forall n \in \mathbb{N}\quad |X_n| \leq Y п.н. Тогда случайные величины X_n,X интегрируемы и

\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}X_n = \mathbb{E} X.


Эта статья содержит материал из статьи Теорема Лебега о мажорируемой сходимости русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики