Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

[править] Формулировка

Пусть фиксировано пространство с мерой . Предположим, что и - измеримые функции на , причём п.в. Тогда если существует определенная на том же пространстве интегрируемая функция , такая что п.в., то функции интегрируемы и

[править] Замечание

Условие мажорированности последовательности интегрируемой функцией принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть , где - борелевская σ-алгебра на , а - мера Лебега на том же пространстве. Определим

Тогда последовательность не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

[править] Приложение к теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся п.н. последовательность случаных величин: п.н. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина , такая что п.н. Тогда случайные величины интегрируемы и

.

Эта статья содержит материал из статьи Теорема Лебега о мажорируемой сходимости русской Википедии.