ФЭНДОМ


Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

ФормулировкаПравить

Пусть фиксировано пространство с мерой $ (X,\mathcal{F},\mu) $. Предположим, что $ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} $ и $ f $ - интегрируемые функции на $ X $, причём $ f_n(x) \to f(x) $ п.в. Тогда если существует определенная на том же пространстве интегрируемая функция $ g $, такая что $ \forall n \in \mathbb{N}\quad |f_n(x)| \leq g(x) $ п.в., то функции $ f_n, f $ интегрируемы и

$ \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mu(dx). $

ЗамечаниеПравить

Условие мажорированности последовательности $ \{f_n\} $ интегрируемой функцией $ f $ принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть $ (X,\mathcal{F},\mu) = ([0,1],\mathcal{B},m) $, где $ \mathcal{B} $ - борелевская σ-алгебра на $ [0,1] $, а $ m $ - мера Лебега на том же пространстве. Определим

$ f_n(x) = \left\{ \begin{matrix} n, & x \in \left[0,\frac{1}{n}\right) \\[10pt] 0, & x \in \left[\frac{1}{n},1\right] \end{matrix} \right.. $

Тогда последовательность $ \{f_n\} $ не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

$ \int\limits_0^1\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)\,m(dx). $

Приложение к теории вероятностейПравить

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $ \Omega $, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся п.н. последовательность случаных величин: $ X_n \to X $ п.н. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина $ Y $, такая что $ \forall n \in \mathbb{N}\quad |X_n| \leq Y $ п.н. Тогда случайные величины $ X_n,X $ интегрируемы и

$ \lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}X_n = \mathbb{E} X $.


Эта статья содержит материал из статьи Теорема Лебега о мажорируемой сходимости русской Википедии.