Викия

Математика

Теорема Кантора

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В теории множеств теорема Кантора гласит, что

Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Теорема Кантора/рамка

ДоказательствоПравить

Предположим, что существует множество A, равномощное множеству всех своих подмножеств 2^A, то есть что есть биекция f, ставящая в соответствие каждому элементу множества A некоторое подмножество множества A. Рассмотрим множество B=\left\{\,x\in A : x\not\in f(x)\,\right\}. f биективно, а B \subseteq A, поэтому существует y \in A такой, что f(y) = B. Теперь посмотрим, может ли y принадлежать B. Если y \in B, то y \in f(y), а тогда, по определению B, y \not\in B. И наоборот, если y \not\in B, то y \not\in f(y), а следовательно, y \in B. В любом случае, получаем противоречие. Следовательно, исходное предположение ложно и A не равномощно 2^A. Заметим, что 2^A содержит подмножество, равномощное A (например, множество всех одноэлементных подмножеств A), а тогда из только что доказанного следует |2^A|>|A|

СсылкиПравить

cs:Cantorova větahe:משפט קנטור (תורת הקבוצות) hu:Cantor-tételka:კანტორის თეორემა no:Cantors teorem pl:Twierdzenie Cantorath:ทฤษฎีบทของคันทอร์ vi:Định lý đường chéo Cantor

Викия-сеть

Случайная вики