Теорема Егорова

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка

Пусть дано пространство с конечной мерой $(X, \mathcal{F}, \mu)$, так что $\mu(X) < \infty$, и определённая на нём последовательность измеримых функций $\{ f_n \}_{n=1}^\infty$, сходящаяся почти всюду к $f$. Тогда $\forall \varepsilon > 0,\; \exists X_{\varepsilon} \subset X$, такое что $\mu(X \setminus X_{\varepsilon}) < \varepsilon$, и последовательность $\{ f_n \}$ равномерно сходится к $f$ на $X_{\varepsilon}$.

Замечания

• Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
• Конечность $\mu(X)$ принципиальна. Пусть, например, $(X,\mathcal{F},\mu) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)$, где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ — борелева σ-алгебра на $\R$, а $m$ — мера Лебега. Заметим, что $m(\mathbb{R}) = \infty$. Пусть $f_n(x) = \mathbf{1}_{[n,n+1]}(x),\; x\in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$, где $\mathbf{1}_A$ обозначает индикатор-функцию множества $A$. Тогда $\{ f_n \}$ сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком множестве конечной меры.

См. также

• Теорема Лузина;
• Егоров, Дмитрий Фёдорович.

Эта статья содержит материал из статьи Теорема Егорова русской Википедии.