Викия

Математика

Теорема Егорова

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка Править

Пусть дано пространство с конечной мерой (X,\mathcal{F},\mu), так что \mu(X) < \infty, и определённая на нём последовательность измеримых функций \{f_n\}_{n=1}^{\infty}, сходящаяся почти всюду к f. Тогда \forall \varepsilon > 0,\; \exists X_{\varepsilon} \subset X, такое что \mu(X \setminus X_{\varepsilon}) < \varepsilon, и последовательность \{f_n\} равномерно сходится к f на X_{\varepsilon}.

Замечания Править

  • Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
  • Конечность \mu(X) принципиальна. Пусть, например, (X,\mathcal{F},\mu) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m), где \mathcal{B}(\mathbb{R})борелева σ-алгебра на \mathbb{R}, а mмера Лебега. Заметим, что m(\mathbb{R}) = \infty. Пусть f_n(x) = \mathbf{1}_{[n,n+1]}(x),\; x\in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, где \mathbf{1}_A обозначает индикатор-функцию множества A. Тогда \{f_n\} сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком множестве конечной меры.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Теорема Егорова русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики