Викия

Математика

Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

Формулировка Править

Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть f:[a,b] \to \mathbb{R}, и f\in C\bigl( [a,b] \bigr). Пусть

M = \sup\limits_{x\in [a,b]}f(x),\; m = \inf\limits_{x\in [a,b]} f(x)

— точные верхняя и нижняя грани множества значений функции f соответственно. Тогда -\infty < m \le M < \infty, и существуют x_m,x_M \in [a,b] такие, что

f(x_m) = m,\; f(x_M) = M.

Замечания Править

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

Обобщения Править

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций Править

  • Пусть функция f:[a,b] \to \mathbb{R} полунепрерывна снизу. Тогда
    m = \inf\limits_{x\in [a,b]}f(x) > -\infty, и  \exists x_m \in [a,b]\; f(x_m) = m.

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте Править

Пусть дано топологическое пространство (X,\mathcal{T}), и компактное подмножество K \subset X. Пусть дана непрерывная функция f:K \to \mathbb{R},\; f\in C(K). Тогда

-\infty < m \equiv \inf\limits_{x\in [a,b]} f(x) \le M \equiv \sup\limits_{x\in [a,b]}f(x) < \infty,

и

\exists x_m,x_M\in K\; f(x_m) = m,\; f(x_M)=M.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики