Викия

Математика

Теорема Больцано — Коши

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.



Эта статья содержит материал из статьи Теорема Больцано — Коши русской Википедии.

Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка Править

Пусть дана непрерывная функция на отрезке f\in C\bigl([a,b]\bigr). Пусть также f(a) \neq f(b), и без ограничения общности предположим, что f(a) \equiv A < B \equiv f(b). Тогда для любого C \in [A,B] существует c\in [a,b] такое, что f(c)=C.

Следствия Править

  • (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция принимает в концах отрезка положительное и отрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть f\in C\bigl([a,b]\bigr), и f(a) f(b) < 0. Тогда \exists c \in [a,b] такое, что f(c) = 0.
  • В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;


Обобщение Править

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция f:X \to\R, определенная на линейно связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Более точно пусть дано связное топологическое пространство (X,\mathcal{T}), и функция f\in C(X). Пусть x_1,x_1\in X,\; f(x_1) = y_1,\; f(x_2) = y_2, и y_1 < y_2. Тогда

\forall y \in [y_1,y_2]\; \exists x\in X\; f(x) = y.

В частности, непрерывный образ линейно связного множества линейно связен.

История Править

Теорема Больцано — Коши была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

Викия-сеть

Случайная вики