Теорема Бернулли в теории вероятностей утверждает, что при многократном повторении случайного эксперимента с двумя исходами относительная частота успехов приближается к вероятности успеха в одном испытании.
Формулировка [ ]
Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха
0
≤
p
≤
1
,
{\displaystyle 0\le p \le 1,}
то есть пусть дана последовательность независимых случайных величин
{
X
n
}
n
=
1
∞
,
{\displaystyle \{X_n\}_{n=1}^{\infty},}
где
X
n
=
{
1
,
p
0
,
1
−
p
.
,
n
∈
N
.
{\displaystyle X_n = \left\{
\begin{matrix}
1, & p \\
0, & 1-p.
\end{matrix}
\right., \quad n \in \mathbb{N}.
}
Определим
Y
n
,
n
∈
N
{\displaystyle Y_n, n\in \mathbb{N}}
как число успехов в первых
n
{\displaystyle n}
испытаниях:
Y
n
=
∑
i
=
1
n
X
i
.
{\displaystyle Y_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i.}
Тогда
Y
n
n
→
P
p
{\displaystyle \frac{Y_n}{n} \stackrel{\mathbb{P}}{\to} p}
при
n
→
∞
.
{\displaystyle n\to\infty.}
то есть
∀
ϵ
>
0
lim
n
→
∞
P
(
|
Y
n
n
−
p
|
>
ϵ
)
=
0.
{\displaystyle \forall \epsilon > 0\; \lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{P}\left( \left| \frac{Y_n}{n} - p \right| > \epsilon\right) = 0.}
Замечание [ ]
Теорема Бернулли является частным случаем закона больших чисел .
См. также [ ]