Викия

Математика

Теорема Банаха о неподвижной точке

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Теорема Банаха о неподвижной точке гарантирует наличие и единственность неподвижной точки у некоторых отображений метрических пространств. Также она содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего ее в 1922 году.

Теорема Править

Пусть (X, d) — непустое полное метрическое пространство. Пусть T: X \mapsto Xсжимающее отображение на X, т.е. существует число 0 \le q <1 такое, что

d(Tx,Ty) \le q\cdot d(x,y)

для всех x, y из X. Тогда у отображения T существует, и притом ровно одна неподвижная точка x* из X (неподвижная означает Tx* = x*). Более того, эта точка может быть построена следующим образом: начнем с произвольного элемента x0 их X, и определим рекурентную последовательность по формуле xn = Txn-1 для всех n = 1, 2, 3, ... Эта последовательность сходится, и ее предел равен x*. Следующее неравенство показвает скорость схождения:

d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0).

Равносильно:

d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)

и

d(x^*, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^*).

Число q часто называют коэффициентом сжатия.

Применение Править

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов уравнений. Также теорема нашла применение в теории фракталов.


Эта статья содержит материал из статьи Теорема Банаха о неподвижной точке русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики