Викия

Математика

Тензор

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Те́нзор — объект линейной алгебры. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы и билинейные формы. Изучением тензоров занимается тензорное исчисление.

Часто тензор представляют как многомерную таблицу d\times d\times \cdots \times d (число сомножителей совпадает с валентностью тензора, а их величина — с размерностью основного пространства), заполненной числами (компонентами тензора). Такое представление возможно только после выбора базиса (или системы координат), при смене базиса компоненты тензора меняются определённым образом, при этом сам тензор от выбора базиса не зависит (это можно увидеть уже на примере вектора).

Определения Править

Современное определение Править

Тензор ранга (n,\ m) над d-мерным векторным пространством V есть элемент тензорного произведения m пространств V и n сопряжённых пространств V^* (то есть пространств линейных функционалов (1-форм) на V)

 \begin{matrix} \tau \in T^m_n(V) & = & \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V} & \otimes  & \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*} \\ & & m & & n \end{matrix}

Сумма чисел n+m называется валентностью тензора. Тензор ранга (n,\ m) также называется n раз ковариантным и m раз контравариантным.

Тензор как полилинейная функция Править

Точно так же как ковариантный тензор ранга (1,0) можно представлять как линейный функционал, тензор \Tau ранга (n, 0) удобно представлять себе как функцию \tau(v_1,v_2,\dots,v_n) от n векторных аргументов v_i\in V, которая линейна по каждому аргументу v_i (такие функции называются полилинейными), т. е. для любой константы c из поля F (над которым определено векторное пространство)

\tau(v_1,\dots,cv_A,\dots,v_n)=c\tau(v_1,\dots,v_A,\dots,v_n)\!
\tau(v_1,\dots,v_A+v_A',\dots,v_n)=\tau(v_1,\dots,v_A,\dots,v_n)+\tau(v_1,\dots,v_A',\dots,v_n).\!

В том же ключе, тензор \Tau произвольного ранга (n, m) представляется полилинейным функционалом от n векторов и m ковекторов:

\tau(v_1,v_2,\dots,v_n,\omega^1,\omega^2,\dots,\omega^m):
 V   \otimes V   \otimes \dots \otimes V \otimes 
 V^* \otimes V^* \otimes \dots \otimes V^* \to \mathbf{F}


Компоненты тензораПравить

Выберем в пространстве V базис \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_d\}, и соответственно \{\mathbf{f}^1, \mathbf{f}^2,\dots,\mathbf{f}^d\}дуальный базис в сопряженном пространстве V^* (то есть (\mathbf{e}_a \cdot \mathbf{f}^b) = \delta_a^b, где \delta_a^bсимвол Кронекера). Тогда в тензорном произведении \Tau^m_n(V) пространств (\otimes_{i=1}^n V) \otimes (\otimes_{i=1}^m V^*) естественным образом возникает базис

\{
\mathbf{e}_{i_1}\,\otimes\,   \mathbf{e}_{i_2}\,\otimes\,  \dots\,   \mathbf{e}_{i_n}\,\otimes\,
\mathbf{f}^{j_1}\,\otimes\,   \mathbf{f}^{j_2}\,\otimes\,  \dots\,   \mathbf{f}^{j_m}
 \},
1\le i_a,\ j_b \le d.

Если определить тензор как полилинейную функцию, то его компоненты определяются значениями этой функции на базисе \Tau^m_n(V):

{\tau_{j_1,j_2,\dots,j_n}}^{i_1,i_2,\dots,i_m} = \tau(
\mathbf{e}_{j_1},\mathbf{e}_{j_2},\dots,\mathbf{e}_{j_n},
\mathbf{f}^{i_1},\mathbf{f}^{i_2},\dots,\mathbf{f}^{i_m}
),
1\le i_a,\ j_b \le d.

После этого тензор можно записать как линейную комбинацию базисных тензорных произведений:

T = \sum_{j_1,j_2\dots j_n}^{} \sum_{i_1,i_2\dots i_m}^{} {\tau_{j_1,j_2,\dots,j_n}}^{i_1,i_2,\dots,i_m}  
\mathbf{e}_{i_1}\, \otimes\, \mathbf{e}_{i_2}\, \otimes\, \dots\,  \otimes\,  \mathbf{e}_{i_m}\, 
\otimes\, 
\mathbf{f}^{j_1}\, \otimes\, \mathbf{f}^{j_2}\, \otimes\, \dots\,  \otimes\,  \mathbf{f}^{j_n}.

Нижние индексы компонент тензора называются ковариантными, а верхние - контравариантными. Например, разложение некоторого дважды ковариантного тензора h будет таким:

h = \sum_{j,k} h_{jk} \mathbf{f}^j \otimes \mathbf{f}^k

О классическом определении Править

Классический подход к определению тензора, более распространённый в физической литературе, начинает с представления тензоров в компонентах. Тензор определяется как геометрический объект, который описывается многомерным массивом. Вектор задается одномерным массивом, а такие объекты как линейный оператор и квадратичная форма — двумерной матрицей. Примером тензора с четырехмерным массивом является тензор кривизны Римана. Скаляры можно рассматривать как нульмерные массивы с единственным элементом.

Значения чисел в массиве, или компоненты тензора, зависят от системы координат, но при этом сам тензор, как геометрическая сущность, от них не зависит. Под геометрической сущностью можно понимать много вещей: различные скалярные инварианты, симметричность/антисимметричность индексов, соотношения между тензорами и другое. Например, скалярное произведение и длина векторов не меняется при поворотах осей, а метрический тензор всегда остается симметричным.

При замене системы координат компоненты тензора преобразуются по определенному (линейному) закону. Зная компоненты тензора в одной системе, всегда можно вычислить его компоненты в другой, если задана матрица преобразования системы. Таким образом, второй подход можно суммировать в виде формулы:

тензор = массив компонент + закон преобразования компонент при замене базиса Тензор/рамка

Примеры Править

Тензорные операции Править

Тензоры допускают следующие алгебраические операции:

  • Умножение на скаляр — как и любой вектор;
  • Сложение тензоров одинаковой валентности и состава индексов — как векторов;
    • Умножение на скаляр и сложение тензоров превращают пространство тензоров одного и того же типа в линейное пространство.
  • Свёртка тензора — специфическая тензорная операция, понижающая валентность тензора.
  • Симметризация — конструирование симметричного тензора того же типа.
  • Антисимметризация — конструирование антисимметричного тензора того же типа.
  • Тензорное произведение — без ограничений. Произведением тензора ранга (m,n) на тензор ранга (m',n') является тензор суммарного ранга (m+m',n+n'), т.е. если \sigma\in T^m_n и \tau \in T^{m'}_{n'} то их произведение
    \sigma\otimes\tau\in T^{m+m'}_{n+n'}=T^{m}_n\otimes T^{m'}_{n'}

Симметрии Править

В различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии.

Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который удовлетворяет следующему требованию:

T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m}) = T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m})
(T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},...,e_{i_m}) = T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},...,e_{i_m}))

или в компонентах

{T_{\underline{j_1,j_2},...,j_n}}^{i_1,i_2,...,i_m} = {T_{\underline{j_2,j_1},...,j_n}}^{i_1,i_2,...,i_m},
\quad \forall j_1,\ j_2 = 1,2,...,(dim(V)=dim(V^*))

({T_{j_1,j_2,...,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},...,i_m} = {T_{j_1,j_2,...,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},...,i_m},
\quad \forall i_1,\ i_2 = 1,2,...,(dim(V)=dim(V^*))).

Аналогично определяется косая симметрия (или антисимметричность):

T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m}) = -T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m})
(T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},...,e_{i_m}) = -T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},...,e_{i_m}))

или в компонентах

{T_{\underline{j_1,j_2},...,j_n}}^{i_1,i_2,...,i_m} = -{T_{\underline{j_2,j_1},...,j_n}}^{i_1,i_2,...,i_m},
\quad \forall j_1,\ j_2 = 1,2,...,(dim(V)=dim(V^*))

({T_{j_1,j_2,...,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},...,i_m} = -{T_{j_1,j_2,...,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},...,i_m},
\quad \forall i_1,\ i_2 = 1,2,...,(dim(V)=dim(V^*))).

Симметрия или антисимметрия не обязательно должна охватывать только соседние индексы, она может включать в себя и индексы из разных мест тензора. Главным условием является то, что симметрия или антисимметрия может относиться только к индексам одного сорта: ко- или контравариантным. Симметрии можду ко- и контравариантыми индексами тензоров не имеют смысла, так как, даже если они наблюдаются в компонентах, то разрушаются при переходе к другому базису отнесения.

Эти определения естественным образом обобщаются на случай более чем двух индексов. При этом при любой перестановке индексов, по которым тензор является симметричным, его действие не изменяется, а при антисимметрии по индексам знак действия тензора изменяется на противоположный для нечётных перестановок (получаемых из начального расположения индексов нечётным числом транспозиций — перестановок двух индексов) и сохраняется для чётных.

Литература Править

Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld - "Мир математических уравнений":

См. также Править

bg:Тензор cs:Tenzorfa:تانسورgl:Tensor he:טנזור hu:Tenzornl:Tensor pl:Tensorsl:Tenzor sr:Тензор sv:Tensor uk:Тензор

Викия-сеть

Случайная вики