Викия

Математика

Таблица интегралов

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Таблица интегралов - список неопределенных интегралов основных функций.

Правила интегрирования функцийПравить

Здесь содержатся основные правила интегрирования:

\int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx
\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx
\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)\,dx
\int f(ax+b)\,dx = {1 \over a} F(ax+b)\,+C

Интегралы рациональных функцийПравить

Рациональная функция - функция, которую можно записать в виде обыкновенной дроби , где числителем и знаменателем являются многочлены . Список интегралов рациональных функций:

\int (ax + b)^n dx = \begin{cases} \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)}, & n\neq -1 \\ \frac{1}{a}\ln\left|ax + b\right|, & n=-1\end{cases}
\int x(ax + b)^n dx = \begin{cases} \frac{a(n + 1)x - b}{a^2(n + 1)(n + 2)} (ax + b)^{n+1}, & n \not\in \{-1, -2\} \\ \frac{x}{a} - \frac{b}{a^2}\ln\left|ax + b\right|, & n=-1 \\ \frac{b}{a^2(ax + b)} + \frac{1}{a^2}\ln\left|ax + b\right|, & n=-2\end{cases}
\int\frac{x}{(ax + b)^n}dx = \frac{a(1 - n)x - b}{a^2(n - 1)(n - 2)(ax + b)^{n-1}}, \quad n\not\in \{1, 2\}
\int\frac{x^2}{ax + b}dx = \frac{1}{a^3}\left(\frac{(ax + b)^2}{2} - 2b(ax + b) + b^2\ln\left|ax + b\right|\right)
\int\frac{x^2}{(ax + b)^2}dx = \frac{1}{a^3}\left(ax + b - 2b\ln\left|ax + b\right| - \frac{b^2}{ax + b}\right)
\int\frac{x^2}{(ax + b)^3}dx = \frac{1}{a^3}\left(\ln\left|ax + b\right| + \frac{2b}{ax + b} - \frac{b^2}{2(ax + b)^2}\right)
\int\frac{x^2}{(ax + b)^n}dx = \frac{1}{a^3}\left(-\frac{1}{(n- 3)(ax + b)^{n-3}} + \frac{2b}{(n-2)(ax + b)^{n-2}} - \frac{b^2}{(n - 1)(ax + b)^{n-1}}\right), для \!   n\not\in \{1, 2, 3\}
\int\frac{dx}{x(ax + b)} = -\frac{1}{b}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|
\int\frac{dx}{x^2(ax+b)} = -\frac{1}{bx} + \frac{a}{b^2}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|
\int\frac{dx}{x^2(ax+b)^2} = -a\left(\frac{1}{b^2(ax+b)} + \frac{1}{ab^2x} - \frac{2}{b^3}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|\right)
\int\frac{dx}{a^2x^2+b^2} = \frac{1}{ab}\arctan\frac{ax}{b}\,\!
\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a}
\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^3} = \frac{x}{4a^2(x^2+a^2)^2} + \frac{3x}{8a^4(x^2+a^2)} + \frac{3}{8a^5}\arctan\frac{x}{a}
\int\frac{dx}{x^2-a^2} = -\frac{1}{a}\,\mathrm{artanh}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{a-x}{a+x}, для \! |x| < |a|
\int\frac{dx}{x^2-a^2} = -\frac{1}{a}\,\mathrm{arcoth}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{x-a}{x+a}, для \! |x| > |a|
\int\frac{dx}{ax^2+bx+c} = \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}, для \! 4ac-b^2>0
\int\frac{dx}{ax^2+bx+c} = \frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} = \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|, для \! 4ac-b^2<0
\int\frac{dx}{ax^2+bx+c} = -\frac{2}{2ax+b}\qquad\mbox{(for }4ac-b^2=0\mbox{)}
\int\frac{x}{ax^2+bx+c}dx = \frac{1}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{b}{2a}\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}
\int\frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx = \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}, для \! 4ac-b^2>0
\int\frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx = \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{2an-bm}{a\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}, для \! 4ac-b^2<0
\int\frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx = \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{2an-bm}{a(2ax+b)}, для \! 4ac-b^2=0
\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n} = \frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\!
\int\frac{x}{(ax^2+bx+c)^n}dx = \frac{bx+2c}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\!
\int\frac{dx}{x(ax^2+bx+c)} = \frac{1}{2c}\ln\left|\frac{x^2}{ax^2+bx+c}\right|-\frac{b}{2c}\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}

Интегралы логарифмических функцийПравить

Замечание: в этой статье предполагаются  \mathcal{8} x>0 . Аддитивная константа опущена.

\int\ln cx\,dx = x\ln cx - x
\int (\ln x)^2\; dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x
\int (\ln cx)^n\; dx = x(\ln cx)^n - n\int (\ln cx)^{n-1} dx
\int \frac{dx}{\ln x} = \ln|\ln x| + \sum^\infty_{i=1}\frac{(\ln x)^i}{i\cdot i!}
\int \frac{dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{(\ln x)^{n-1}} для \! n\neq 1
\int x^m\ln x\;dx = x^{m+1}\left(\frac{\ln x}{m+1}-\frac{1}{(m+1)^2}\right) для \! m\neq -1
\int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^m (\ln x)^{n-1} dx для \! m\neq -1
\int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x} = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1} для \! n\neq -1
\int \frac{\ln x\,dx}{x^m} = -\frac{\ln x}{(m-1)x^{m-1}}-\frac{1}{(m-1)^2 x^{m-1}} для \! m\neq 1
\int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x^m} = -\frac{(\ln x)^n}{(m-1)x^{m-1}} + \frac{n}{m-1}\int\frac{(\ln x)^{n-1} dx}{x^m} для \!m\neq 1
\int \frac{x^m\; dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{m+1}{n-1}\int\frac{x^m dx}{(\ln x)^{n-1}} для \!n\neq 1
\int \frac{x^m dx}{\ln x} = \mathrm{Ei} \left( \left( m+1 \right) \ln x \right),
где Ei(x) — интегральная экспонента
\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|
\int \frac{dx}{x^n\ln x} = \ln|\ln x| + \sum^\infty_{i=1} (-1)^i\frac{(n-1)^i(\ln x)^i}{i\cdot i!}
\int \frac{dx}{x (\ln x)^n} = -\frac{1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}, для \!  n\neq 1
\int \sin (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) - \cos (\ln x))
\int \cos (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) + \cos (\ln x))

Интегралы экспоненциальных функцийПравить

\int e^{cx}\;dx = \frac{1}{c} e^{cx}
\int a^{cx}\;dx = \frac{1}{c \ln a} a^{cx}, для \! a > 0, a \ne 1
\int xe^{cx}\;dx = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)
\int x^2 e^{cx}\;dx = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)
\int x^n e^{cx}\; dx = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} dx
\int\frac{e^{cx}\; dx}{x} = \ln|x| +\sum_{i=1}^\infty\frac{(cx)^i}{i\cdot i!}
\int\frac{e^{cx}\; dx}{x^n} = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} dx}{x^{n-1}}\right), для \! n\neq 1
\int e^{cx}\ln x\; dx = \frac{1}{c}e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)
\int e^{cx}\sin bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)
\int e^{cx}\cos bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)
\int e^{cx}\sin^n x\; dx = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;dx
\int e^{cx}\cos^n x\; dx = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;dx
\int x e^{c x^2 }\; dx= \frac{1}{2c} \;  e^{c x^2}
\int {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 / 2\sigma^2}}\; dx= \frac{1}{2} (1 + \mbox{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}), где erf(…)функция ошибок

Интегралы иррациональных функцийПравить

Иррациональная функция - функция, которую нельзя записать в виде дроби.

Интегралы с корнем из a2+x2Править

Везде ниже: r = \sqrt{a^2+x^2}.

\int r \;dx = \frac{1}{2}\left(x r +a^2\,\ln\left({x+r}\right)\right)
\int r^3 \;dx = \frac{1}{4}xr^3+\frac{1}{8}3a^2xr+\frac{3}{8}a^4\ln\left(\frac{x+r}{a}\right)
\int r^5 \; dx = \frac{1}{6}xr^5+\frac{5}{24}a^2xr^3+\frac{5}{16}a^4xr+\frac{5}{16}a^6\ln\left(\frac{x+r}{a}\right)
\int x r^{2n+1}\;dx=\frac{r^{2n+3}}{2n+3}
\int x^2 r\;dx= \frac{xr^3}{4}-\frac{a^2xr}{8}-\frac{a^4}{8}\ln\left(\frac{x+r}{a}\right)
\int x^2 r^3\;dx= \frac{xr^5}{6}-\frac{a^2xr^3}{24}-\frac{a^4xr}{16}-\frac{a^6}{16}\ln\left(\frac{x+r}{a}\right)
\int x^3 r \; dx = \frac{r^5}{5} - \frac{a^2 r^3}{3}
\int x^3 r^3 \; dx = \frac{r^7}{7}-\frac{a^2r^5}{5}
\int x^3 r^{2n+1} \; dx = \frac{r^{2n+5}}{2n+5} - \frac{a^3 r^{2n+3}}{2n+3}
\int x^4 r\;dx= \frac{x^3r^3}{6}-\frac{a^2xr^3}{8}+\frac{a^4xr}{16}+\frac{a^6}{16}\ln\left(\frac{x+r}{a}\right)
\int x^4 r^3\;dx= \frac{x^3r^5}{8}-\frac{a^2xr^5}{16}+\frac{a^4xr^3}{64}+\frac{3a^6xr}{128}+\frac{3a^8}{128}\ln\left(\frac{x+r}{a}\right)
\int x^5 r \; dx = \frac{r^7}{7} - \frac{2 a^2 r^5}{5} + \frac{a^4 r^3}{3}
\int x^5 r^3 \; dx = \frac{r^9}{9} - \frac{2 a^2 r^7}{7} + \frac{a^4 r^5}{5}
\int x^5 r^{2n+1} \; dx = \frac{r^{2n+7}}{2n+7} - \frac{2a^2r^{2n+5}}{2n+5}+\frac{a^4 r^{2n+3}}{2n+3}
\int\frac{r\;dx}{x} = r-a\ln\left|\frac{a+r}{x}\right| = r - a \sinh^{-1}\frac{a}{x}
\int\frac{r^3\;dx}{x} = \frac{r^3}{3}+a^2r-a^3\ln\left|\frac{a+r}{x}\right|
\int\frac{r^5\;dx}{x} = \frac{r^5}{5}+\frac{a^2r^3}{3}+a^4r-a^5\ln\left|\frac{a+r}{x}\right|
\int\frac{r^7\;dx}{x} = \frac{r^7}{7}+\frac{a^2r^5}{5}+\frac{a^4r^3}{3}+a^6r-a^7\ln\left|\frac{a+r}{x}\right|
\int\frac{dx}{r} = \sinh^{-1}\frac{x}{a} = \ln\left|x+r\right|
\int\frac{x\,dx}{r} = r
\int\frac{x^2\;dx}{r} = \frac{x}{2}r-\frac{a^2}{2}\,\sinh^{-1}\frac{x}{a} = \frac{x}{2}r-\frac{a^2}{2}\ln\left|x+r\right|
\int\frac{dx}{xr} = -\frac{1}{a}\,\sinh^{-1}\frac{a}{x} = -\frac{1}{a}\ln\left|\frac{a+r}{x}\right|

Интегралы с корнем из x2-a2Править

Везде ниже: s = \sqrt{x^2-a^2}.

Принято x^2>a^2, для x^2<a^2, смотрите следующий раздел.

\int s\;dx = \frac{1}{2}\left(x s-a^2\ln\left(x+s\right)\right)
\int xs\;dx = \frac{1}{3}s^3
\int\frac{s\;dx}{x} = s - a\cos^{-1}\left|\frac{a}{x}\right|
\int\frac{dx}{s} = \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \ln\left|x+s\right|

Заметим, что \ln\left|\frac{x+s}{a}\right|
=\mathrm{sgn}(x)\cosh^{-1}\left|\frac{x}{a}\right|
=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+s}{x-s}\right), где \cosh^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| принимает только положительные значения.

\int\frac{x\;dx}{s} = s
\int\frac{x\;dx}{s^3} = -\frac{1}{s}
\int\frac{x\;dx}{s^5} = -\frac{1}{3s^3}
\int\frac{x\;dx}{s^7} = -\frac{1}{5s^5}
\int\frac{x\;dx}{s^{2n+1}} = -\frac{1}{(2n-1)s^{2n-1}}
\int\frac{x^{2m}\;dx}{s^{2n+1}}
= -\frac{1}{2n-1}\frac{x^{2m-1}}{s^{2n-1}}+\frac{2m-1}{2n-1}\int\frac{x^{2m-2}\;dx}{s^{2n-1}}
\int\frac{x^2\;dx}{s}
= \frac{xs}{2}+\frac{a^2}{2}\ln\left|\frac{x+s}{a}\right|
\int\frac{x^2\;dx}{s^3}
= -\frac{x}{s}+\ln\left|\frac{x+s}{a}\right|
\int\frac{x^4\;dx}{s}
= \frac{x^3s}{4}+\frac{3}{8}a^2xs+\frac{3}{8}a^4\ln\left|\frac{x+s}{a}\right|
\int\frac{x^4\;dx}{s^3}
= \frac{xs}{2}-\frac{a^2x}{s}+\frac{3}{2}a^2\ln\left|\frac{x+s}{a}\right|
\int\frac{x^4\;dx}{s^5}
= -\frac{x}{s}-\frac{1}{3}\frac{x^3}{s^3}+\ln\left|\frac{x+s}{a}\right|
\int\frac{x^{2m}\;dx}{s^{2n+1}}
= (-1)^{n-m}\frac{1}{a^{2(n-m)}}\sum_{i=0}^{n-m-1}\frac{1}{2(m+i)+1}{n-m-1 \choose i}\frac{x^{2(m+i)+1}}{s^{2(m+i)+1}}, где n>m\ge0
\int\frac{dx}{s^3}=-\frac{1}{a^2}\frac{x}{s}
\int\frac{dx}{s^5}=\frac{1}{a^4}\left[\frac{x}{s}-\frac{1}{3}\frac{x^3}{s^3}\right]
\int\frac{dx}{s^7}
=-\frac{1}{a^6}\left[\frac{x}{s}-\frac{2}{3}\frac{x^3}{s^3}+\frac{1}{5}\frac{x^5}{s^5}\right]
\int\frac{dx}{s^9}
=\frac{1}{a^8}\left[\frac{x}{s}-\frac{3}{3}\frac{x^3}{s^3}+\frac{3}{5}\frac{x^5}{s^5}-\frac{1}{7}\frac{x^7}{s^7}\right]
\int\frac{x^2\;dx}{s^5}=-\frac{1}{a^2}\frac{x^3}{3s^3}
\int\frac{x^2\;dx}{s^7}
= \frac{1}{a^4}\left[\frac{1}{3}\frac{x^3}{s^3}-\frac{1}{5}\frac{x^5}{s^5}\right]
\int\frac{x^2\;dx}{s^9}
= -\frac{1}{a^6}\left[\frac{1}{3}\frac{x^3}{s^3}-\frac{2}{5}\frac{x^5}{s^5}+\frac{1}{7}\frac{x^7}{s^7}\right]

Интегралы с корнем из a2-x2Править

Везде ниже: t = \sqrt{a^2-x^2}\qquad\mbox{(}|x|\leqslant|a|\mbox{)}

\int t \;dx = \frac{1}{2}\left(xt+a^2\arcsin\frac{x}{a}\right)
\int xt\;dx = -\frac{1}{3} t^3
\int\frac{t\;dx}{x} = t-a\ln\left|\frac{a+t}{x}\right|
\int\frac{dx}{t} = \arcsin\frac{x}{a}
\int\frac{x\;dx}{t} = -t
\int\frac{x^2\;dx}{t} = -\frac{x}{2}t+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}
\int t\;dx = \frac{1}{2}\left(xt-\sgn x\,\cosh^{-1}\left|\frac{x}{a}\right|\right)

Интегралы с корнем из общего квадратного трёхчлена Править

Здесь обозначено: R = ax^2+bx+c

\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\ln\left|2\sqrt{a R}+2ax+b\right| \qquad \mbox{( }a>0\mbox{)}
\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\,\sinh^{-1}\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \qquad \mbox{( }a>0\mbox{, }4ac-b^2>0\mbox{)}
\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\ln|2ax+b| \quad \mbox{( }a>0\mbox{, }4ac-b^2=0\mbox{)}
\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} = -\frac{1}{\sqrt{-a}}\arcsin\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} \qquad \mbox{( }a<0\mbox{, }4ac-b^2<0\mbox{)}
\int\frac{dx}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{3}}} = \frac{4ax+2b}{(4ac-b^2)\sqrt{R}}
\int\frac{dx}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{5}}} = \frac{4ax+2b}{3(4ac-b^2)\sqrt{R}}\left(\frac{1}{R}+\frac{8a}{4ac-b^2}\right)
\int\frac{dx}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1}}} = \frac{4ax+2b}{(2n-1)(4ac-b^2)R^{(2n-1)/2}}+\frac{8a(n-1)}{(2n-1)(4ac-b^2)}
\int\frac{dx}{R^{(2n-1)/2}}
\int\frac{x\;dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} = \frac{\sqrt{R}}{a}-\frac{b}{2a}\int\frac{dx}{\sqrt{R}}
\int\frac{x\;dx}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^3}} = -\frac{2bx+4c}{(4ac-b^2)\sqrt{R}}
\int\frac{x\;dx}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1}}} = -\frac{1}{(2n-1)aR^{(2n-1)/2}}-\frac{b}{2a}\int\frac{dx}{R^{(2n+1)/2}}
\int\frac{dx}{x\sqrt{ax^2+bx+c}}=-\frac{1}{\sqrt{c}}\ln\left(\frac{2\sqrt{c R}+bx+2c}{x}\right)
\int\frac{dx}{x\sqrt{ax^2+bx+c}}=-\frac{1}{\sqrt{c}}\sinh^{-1}\left(\frac{bx+2c}{|x|\sqrt{4ac-b^2}}\right)

Интегралы с корнем из линейной функции Править

\int \frac{dx}{x\sqrt{ax + b}}\,=\,\frac{-2}{\sqrt{b}}\tanh^{-1}{\sqrt{\frac{ax + b}{b}}}
\int\frac{\sqrt{ax + b}}{x}\,dx\;=\;2\left(\sqrt{ax + b} - \sqrt{b}\tanh^{-1}{\sqrt{\frac{ax + b}{b}}}\right)
\int\frac{x^n}{\sqrt{ax + b}}\,dx\;=\;\frac{2}{a(2n+1)}
\left(x^{n}\sqrt{ax + b} - bn\int\frac{x^{n-1}}{\sqrt{ax + b}}\,dx\right)
\int x^n \sqrt{ax + b}\,dx \; = \; \frac{2}{2n +1}\left(x^{n+1} \sqrt{ax + b} + bx^{n} \sqrt{ax + b} - nb\int x^{n-1}\sqrt{ax + b}\,dx \right)

Интегралы тригонометрических функцийПравить

Константа c не равняется нулю.

Интегралы, содержащие только синус Править

\int\sin cx\;dx = -\frac{1}{c}\cos cx\,\!
\int\sin^n cx\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}\,\!


\int x\sin cx\;dx = \frac{\sin cx}{c^2}-\frac{x\cos cx}{c}\,\!
\int x^2\sin cx\;dx 
= \frac{2\cos cx}{c^3}
+ \frac{2x\sin cx}{c^2}
- \frac{x^2\cos cx}{c}
\,\!
\int x^3\sin cx\;dx 
=-\frac{6\sin cx}{c^4}
+ \frac{6x\cos cx}{c^3}
+ \frac{3x^2\sin cx}{c^2}
- \frac{x^3\cos cx}{c}
\,\!
\int x^4\sin cx\;dx 
=-\frac{24\cos cx}{c^5}
- \frac{24x\sin cx}{c^4}
+ \frac{12x^2\cos cx}{c^3}
+ \frac{4x^3\sin cx}{c^2}
- \frac{x^4\cos cx}{c}
\,\!
\int x^5\sin cx\;dx 
= \frac{120\sin cx}{c^6}
- \frac{120x\cos cx}{c^5}
- \frac{60x^2\sin cx}{c^4}
+ \frac{20x^3\cos cx}{c^3}
+ \frac{5x^4\sin cx}{c^2}
- \frac{x^5\cos cx}{c}
\,\!

\begin{align}
\int x^n\sin cx\;dx 
& = n! \cdot \sin cx \left[
 \frac{x^{n-1}}{c^2 \cdot (n-1)!}
-\frac{x^{n-3}}{c^4 \cdot (n-3)!}
+\frac{x^{n-5}}{c^6 \cdot (n-5)!} - ...
\right] - \\
& - n! \cdot \cos cx \left[
 \frac{x^n}{c \cdot  n!}
-\frac{x^{n-2}}{c^3 \cdot (n-2)!}
+\frac{x^{n-4}}{c^5 \cdot (n-4)!} - ...
\right]  
\end{align}


\int x^n\sin cx\;dx = -\frac{x^n}{c}\cos cx+\frac{n}{c}\int x^{n-1}\cos cx\;dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}\,\!
\int\frac{\sin cx}{x} dx = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i\frac{(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}\,\!
\int\frac{\sin cx}{x^n} dx = -\frac{\sin cx}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{c}{n-1}\int\frac{\cos cx}{x^{n-1}} dx\,\!
\int\frac{dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\ln \left|\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|
\int\frac{dx}{\sin^n cx} = \frac{\cos cx}{c(1-n) \sin^{n-1} cx}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}cx} \qquad\mbox{( }n>1\mbox{)}\,\!
\int\frac{dx}{1\pm\sin cx} = \frac{1}{c}\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)
\int\frac{x\;dx}{1+\sin cx} = \frac{x}{c}\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\left(\frac{cx}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|
\int\frac{x\;dx}{1-\sin cx} = \frac{x}{c}\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{cx}{2}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{cx}{2}\right)\right|
\int\frac{\sin cx\;dx}{1\pm\sin cx} = \pm x+\frac{1}{c}\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{cx}{2}\right)
\int\sin c_1x\sin c_2x\;dx = \frac{\sin(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)}-\frac{\sin(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)} \qquad\mbox{( }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!

Интегралы, содержащие только косинус Править

\int\cos cx\;dx = \frac{1}{c}\sin cx\,\!


\int\cos^n cx\;dx = \frac{\cos^{n-1} cx\sin cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}\,\!
\int x\cos cx\;dx = \frac{\cos cx}{c^2} + \frac{x\sin cx}{c}\,\!
\int x^n\cos cx\;dx = \frac{x^n\sin cx}{c} - \frac{n}{c}\int x^{n-1}\sin cx\;dx\,\!
\int\frac{\cos cx}{x} dx = \ln|cx|+\sum_{i=1}^\infty (-1)^i\frac{(cx)^{2i}}{2i\cdot(2i)!}\,\!
\int\frac{\cos cx}{x^n} dx = -\frac{\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{c}{n-1}\int\frac{\sin cx}{x^{n-1}} dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{dx}{\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|
\int\frac{dx}{\cos^n cx} = \frac{\sin cx}{c(n-1) cos^{n-1} cx} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n>1\mbox{)}\,\!
\int\frac{dx}{1+\cos cx} = \frac{1}{c}\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\,\!
\int\frac{dx}{1-\cos cx} = -\frac{1}{c}\operatorname{ctg}\frac{cx}{2}\,\!
\int\frac{x\;dx}{1+\cos cx} = \frac{x}{c}\operatorname{tg}{cx}{2} + \frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\frac{cx}{2}\right|
\int\frac{x\;dx}{1-\cos cx} = -\frac{x}{x}\operatorname{ctg}{cx}{2}+\frac{2}{c^2}\ln\left|\sin\frac{cx}{2}\right|
\int\frac{\cos cx\;dx}{1+\cos cx} = x - \frac{1}{c}\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\,\!
\int\frac{\cos cx\;dx}{1-\cos cx} = -x-\frac{1}{c}\operatorname{ctg}\frac{cx}{2}\,\!
\int\cos c_1x\cos c_2x\;dx = \frac{\sin(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)}+\frac{\sin(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)} \qquad\mbox{( }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!

Интегралы, содержащие только тангенс Править

\int\operatorname{tg} cx\;dx = -\frac{1}{c}\ln|\cos cx|\,\!
\int\operatorname{tg}^n cx\;dx = \frac{1}{c(n-1)}\operatorname{tg}^{n-1} cx-\int\operatorname{tg}^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{dx}{\operatorname{tg} cx + 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx + \cos cx|\,\!
\int\frac{dx}{\operatorname{tg} cx - 1} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx - \cos cx|\,\!
\int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx + 1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln|\sin cx + \cos cx|\,\!
\int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx - \cos cx|\,\!

Интегралы, содержащие только секанс Править

\int \sec{cx} \, dx = \frac{1}{c}\ln{\left| \sec{cx} + \operatorname{tg}{cx}\right|}
\int \sec^n{cx} \, dx = \frac{\sec^{n-1}{cx} \sin {cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ ( }n \ne 1\mbox{)}\,\!
\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \operatorname{tg}{\frac{x}{2}}

Интегралы, содержащие только косеканс Править

\int \csc{cx} \, dx = -\frac{1}{c}\ln{\left| \csc{cx} + \operatorname{ctg}{cx}\right|}
\int \csc^n{cx} \, dx = -\frac{\csc^{n-1}{cx} \cos{cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ ( }n \ne 1\mbox{)}\,\!

Интегралы, содержащие только котангенс Править

\int\operatorname{ctg} cx\;dx = \frac{1}{c}\ln|\sin cx|\,\!
\int\operatorname{ctg}^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n-1)}\operatorname{ctg}^{n-1} cx - \int\operatorname{ctg}^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{dx}{1 + \operatorname{ctg} cx} = \int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx+1}\,\!
\int\frac{dx}{1 - \operatorname{ctg} cx} = \int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx-1}\,\!

Интегралы, содержащие только синус и косинус Править

\int\frac{dx}{\cos cx\pm\sin cx} = \frac{1}{c\sqrt{2}}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|
\int\frac{dx}{(\cos cx\pm\sin cx)^2} = \frac{1}{2c}\operatorname{tg}\left(cx\mp\frac{\pi}{4}\right)
\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{n-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^{n - 1}} - 2(n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \right)
\int\frac{\cos cx\;dx}{\cos cx + \sin cx} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx + \cos cx\right|
\int\frac{\cos cx\;dx}{\cos cx - \sin cx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx - \cos cx\right|
\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx + \sin cx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx + \cos cx\right|
\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx - \sin cx} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2c}\ln\left|\sin cx - \cos cx\right|
\int\frac{\cos cx\;dx}{\sin cx(1+\cos cx)} = -\frac{1}{4c}\operatorname{tg}^2\frac{cx}{2}+\frac{1}{2c}\ln\left|\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|
\int\frac{\cos cx\;dx}{\sin cx(1+-\cos cx)} = -\frac{1}{4c}\operatorname{ctg}^2\frac{cx}{2}-\frac{1}{2c}\ln\left|\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|
\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx(1+\sin cx)} = \frac{1}{4c}\operatorname{ctg}^2\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2c}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|
\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx(1-\sin cx)} = \frac{1}{4c}\operatorname{tg}^2\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2c}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|
\int\sin cx\cos cx\;dx = \frac{1}{2c}\sin^2 cx\,\!
\int\sin c_1x\cos c_2x\;dx = -\frac{\cos(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)}-\frac{\cos(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)} \qquad\mbox{( }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!
\int\sin^n cx\cos cx\;dx = \frac{1}{c(n+1)}\sin^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\sin cx\cos^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n+1)}\cos^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\sin^n cx\cos^m cx\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos^{m+1} cx}{c(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin^{n-2} cx\cos^m cx\;dx  \qquad\mbox{( }m,n>0\mbox{)}\,\!
\int\sin^n cx\cos^m cx\;dx = \frac{\sin^{n+1} cx\cos^{m-1} cx}{c(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int\sin^n cx\cos^{m-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }m,n>0\mbox{)}\,\!
\int\frac{dx}{\sin cx\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\operatorname{tg} cx\right|
\int\frac{dx}{\sin cx\cos^n cx} = \frac{1}{c(n-1)\cos^{n-1} cx}+\int\frac{dx}{\sin cx\cos^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{dx}{\sin^n cx\cos cx} = -\frac{1}{c(n-1)\sin^{n-1} cx}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} cx\cos cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos^n cx} = \frac{1}{c(n-1)\cos^{n-1} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{\sin^2 cx\;dx}{\cos cx} = -\frac{1}{c}\sin cx+\frac{1}{c}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{cx}{2}\right)\right|
\int\frac{\sin^2 cx\;dx}{\cos^n cx} = \frac{\sin cx}{c(n-1)\cos^{n-1}cx}-\frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2}cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos cx} = -\frac{\sin^{n-1} cx}{c(n-1)} + \int\frac{\sin^{n-2} cx\;dx}{\cos cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = \frac{\sin^{n+1} cx}{c(m-1)\cos^{m-1} cx}-\frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = -\frac{\sin^{n-1} cx}{c(n-m)\cos^{m-1} cx}+\frac{n-1}{n-m}\int\frac{\sin^{n-2} cx\;dx}{\cos^m cx} \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}\,\!
\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = \frac{\sin^{n-1} cx}{c(m-1)\cos^{m-1} cx}-\frac{n-1}{m-1}\int\frac{\sin^{n-1} cx\;dx}{\cos^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{\cos cx\;dx}{\sin^n cx} = -\frac{1}{c(n-1)\sin^{n-1} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\left(\cos cx+\ln\left|\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|\right)
\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin^n cx} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos cx}{c\sin^{n-1} cx)}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} cx}\right) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = -\frac{\cos^{n+1} cx}{c(m-1)\sin^{m-1} cx} - \frac{n-m-2}{m-1}\int\frac{cos^n cx\;dx}{\sin^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!
\int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = \frac{\cos^{n-1} cx}{c(n-m)\sin^{m-1} cx} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{cos^{n-2} cx\;dx}{\sin^m cx} \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}\,\!
\int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = -\frac{\cos^{n-1} cx}{c(m-1)\sin^{m-1} cx} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{cos^{n-2} cx\;dx}{\sin^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!

Интегралы, содержащие только синус и тангенс Править

\int \sin cx \operatorname{tg} cx\;dx = \frac{1}{c}(\ln|\sec cx + \operatorname{tg} cx| - \sin cx)\,\!
\int\frac{\operatorname{tg}^n cx\;dx}{\sin^2 cx} = \frac{1}{c(n-1)}\operatorname{tg}^{n-1} (cx) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

Интегралы, содержащие только косинус и тангенс Править

\int\frac{\operatorname{tg}^n cx\;dx}{\cos^2 cx} = \frac{1}{c(n+1)}\operatorname{tg}^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}\,\!

Интегралы, содержащие только синус и котангенс Править

\int\frac{\operatorname{ctg}^n cx\;dx}{\sin^2 cx} = \frac{1}{c(n+1)}\operatorname{ctg}^{n+1} cx  \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}\,\!

Интегралы, содержащие только косинус и котангенс Править

\int\frac{\operatorname{ctg}^n cx\;dx}{\cos^2 cx} = \frac{1}{c(1-n)}\operatorname{tg}^{1-n} cx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!

Интегралы, содержащие только тангенс и котангенс Править

\int \frac{\operatorname{tg}^m(cx)}{\operatorname{ctg}^n(cx)}\;dx = \frac{1}{c(m+n-1)}\operatorname{tg}^{m+n-1}(cx) - \int \frac{\operatorname{tg}^{m-2}(cx)}{\operatorname{ctg}^n(cx)}\;dx\qquad\mbox{( }m + n \neq 1\mbox{)}\,\!

Интегралы обратных тригонометрических функцийПравить

Ниже приведен список неопределенных интегралов некоторых аркфункций:

Арксинус Править

\int \arcsin x \,dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C
\int \arcsin \frac{x}{a} \,dx = x \arcsin \frac{x}{a} + \sqrt{a^2-x^2} + C
\int x \arcsin \frac{x}{a} \,dx = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{a^2}{4} \right) \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{4} \sqrt{a^2-x^2} + C
\int x^2 \arcsin \frac{x}{a} \,dx = \frac{x^3}{3} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x^2+2a^2}{9} \sqrt{a^2-x^2} + C
\int x^n \arcsin x \,dx = \frac{1}{n + 1} \left( x^{n + 1} \arcsin x + \frac{x^n \sqrt{1 - x^2} - n x^{n - 1} \arcsin x}{n - 1} + n \int x^{n - 2} \arcsin x \, dx \right)
\int \cos^n x \arcsin x \,dx = \left( x^{n^2 + 1} \arccos x + \frac{x^n \sqrt{1 - x^4} - n x^{n^2 - 1} \arccos x}{n^2 - 1} + n \int x^{n^2 - 2} \arccos x \,dx \right)

Арккосинус Править

\int \arccos x \,dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C
\int \arccos \frac{x}{a} \,dx = x \arccos \frac{x}{a} - \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x \arccos \frac{x}{a} \,dx = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{a^2}{4} \right) \arccos \frac{x}{a} - \frac{x}{4} \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x^2 \arccos \frac{x}{a} \,dx = \frac{x^3}{3} \arccos \frac{x}{a} - \frac{x^2 + 2a^2}{9} \sqrt{a^2 - x^2} + C

Арктангенс Править

\int \operatorname {arctg} \,x \,dx = x \,\operatorname {arctg} \,x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
\int \operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} \,dx = x \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} - \frac{a}{2} \ln(1 + \frac{x^2}{a^2}) + C
\int x \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{(a^2 + x^2) \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} - a x}{2} + C
\int x^2 \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{x^3}{3} \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} - \frac{a x^2}{6} + \frac{a^3}{6} \ln({a^2 + x^2}) + C
\int x^n \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} - \frac{a}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{a^2 + x^2} \,dx, \quad n \neq -1

Арккотангенс Править

\int \operatorname {arcctg} \,x \,dx = x \,\operatorname {arcctg} \,x + \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
\int \operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} \,dx = x \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} + \frac{a}{2} \ln(a^2 + x^2) + C
\int x \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{a^2 + x^2}{2} \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} + \frac{a x}{2} + C
\int x^2 \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{x^3}{3} \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} + \frac{a x^2}{6} - \frac{a^3}{6} \ln(a^2 + x^2) + C
\int x^n \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} + \frac{a}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{a^2 + x^2} \,dx, \quad n \neq -1

Арксеканс Править

\int \arcsec x \,dx = x \arcsec x - \ln \left| x + x \sqrt{{x^2 - 1} \over x^2} \right| + C
\int \arcsec \frac{x}{a} \,dx = x \arcsec \frac{x}{a} + \frac{x}{a |x|} \ln \left| x \pm \sqrt{x^2 - 1} \right| + C
\int x \arcsec x \,dx = \frac{1}{2} \left( x^2 \arcsec x - \sqrt{x^2 - 1} \right) + C
\int x^n \arcsec x \,dx = \frac{1}{n + 1} \left( x^{n + 1} \arcsec x - \frac{1}{n} \left[ x^{n - 1} \sqrt{x^2 - 1} + [1 - n] \left( x^{n - 1} \arcsec x + (1 - n) \int x^{n - 2} \arcsec x \,dx \right) \right] \right)

Арккосеканс Править

\int \operatorname {arccosec} \,x \,dx = x \,\operatorname {arccosec} \,x + \ln \left| x + x \sqrt{{x^2 - 1} \over x^2} \right| + C
\int \,\operatorname {arccosec} \,\frac{x}{a} \,dx = x \,\operatorname {arccosec} \,\frac{x}{a} + {a} \ln{\left( \frac{x}{a} \left( \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}} + 1 \right) \right)} + C
\int x \,\operatorname {arccosec} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{x^2}{2} \,\operatorname {arccosec} \,\frac{x}{a} + \frac{a x}{2} \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}} + C

Интегрирование гиперболических функцийПравить

\int\operatorname{sh} cx\,dx = \frac{1}{c}\operatorname{ch} cx
\int\operatorname{ch} cx\,dx = \frac{1}{c}\operatorname{sh} cx
\int\operatorname{sh}^2 cx\,dx = \frac{1}{4c}\operatorname{sh} 2cx - \frac{x}{2}
\int\operatorname{ch}^2 cx\,dx = \frac{1}{4c}\operatorname{sh} 2cx + \frac{x}{2}
\int\operatorname{sh}^n cx\,dx = \frac{1}{cn}\operatorname{sh}^{n-1} cx\operatorname{ch} cx - \frac{n-1}{n}\int\operatorname{sh}^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}
также: \int\operatorname{sh}^n cx\,dx = \frac{1}{c(n+1)}\operatorname{sh}^{n+1} cx\operatorname{ch} cx - \frac{n+2}{n+1}\int\operatorname{sh}^{n+2}cx\,dx \qquad\mbox{( }n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}
\int\operatorname{ch}^n cx\,dx = \frac{1}{cn}\operatorname{sh} cx\operatorname{ch}^{n-1} cx + \frac{n-1}{n}\int\operatorname{ch}^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}
также: \int\operatorname{ch}^n cx\,dx = -\frac{1}{c(n+1)}\operatorname{sh} cx\operatorname{ch}^{n+1} cx - \frac{n+2}{n+1}\int\operatorname{ch}^{n+2}cx\,dx \qquad\mbox{(}n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}
\int\frac{dx}{\operatorname{sh} cx} = \frac{1}{c} \ln\left|\operatorname{th}\frac{cx}{2}\right| = \frac{1}{c} \ln\left|\frac{\operatorname{ch} cx - 1}{\operatorname{sh} cx}\right| = \frac{1}{c} \ln\left|\frac{\operatorname{sh} cx}{\operatorname{ch} cx + 1}\right| = \frac{1}{c} \ln\left|\frac{\operatorname{ch} cx - 1}{\operatorname{ch} cx + 1}\right|
\int\frac{dx}{\operatorname{sh}^2 cx} = - \frac{1}{c}\operatorname{cth} cx
\int\frac{dx}{\operatorname{ch} cx} = \frac{2}{c} \operatorname{arctg} e^{cx}
\int\frac{dx}{\operatorname{ch}^2 cx} = \frac{1}{c}\operatorname{th} cx
\int\frac{dx}{\operatorname{sh}^n cx} = \frac{\operatorname{ch} cx}{c(n-1)\operatorname{sh}^{n-1} cx}-\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\operatorname{sh}^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{dx}{\operatorname{ch}^n cx} = \frac{\operatorname{sh} cx}{c(n-1)\operatorname{ch}^{n-1} cx}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\operatorname{ch}^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{\operatorname{ch}^n cx}{\operatorname{sh}^m cx} dx = \frac{\operatorname{ch}^{n-1} cx}{c(n-m)\operatorname{sh}^{m-1} cx} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\operatorname{ch}^{n-2} cx}{\operatorname{sh}^m cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}
также: \int\frac{\operatorname{ch}^n cx}{\operatorname{sh}^m cx} dx = -\frac{\operatorname{ch}^{n+1} cx}{c(m-1)\operatorname{sh}^{m-1} cx} + \frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\operatorname{ch}^n cx}{\operatorname{sh}^{m-2} cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}
также: \int\frac{\operatorname{ch}^n cx}{\operatorname{sh}^m cx} dx = -\frac{\operatorname{ch}^{n-1} cx}{c(m-1)\operatorname{sh}^{m-1} cx} + \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\operatorname{ch}^{n-2} cx}{\operatorname{sh}^{m-2} cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}
\int\frac{\operatorname{sh}^m cx}{\operatorname{ch}^n cx} dx = \frac{\operatorname{sh}^{m-1} cx}{c(m-n)\operatorname{ch}^{n-1} cx} + \frac{m-1}{m-n}\int\frac{\operatorname{sh}^{m-2} cx}{\operatorname{ch}^n cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}
также: \int\frac{\operatorname{sh}^m cx}{\operatorname{ch}^n cx} dx = \frac{\operatorname{sh}^{m+1} cx}{c(n-1)\operatorname{ch}^{n-1} cx} + \frac{m-n+2}{n-1}\int\frac{\operatorname{sh}^m cx}{\operatorname{ch}^{n-2} cx} dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}
также: \int\frac{\operatorname{sh}^m cx}{\operatorname{ch}^n cx} dx = -\frac{\operatorname{sh}^{m-1} cx}{c(n-1)\operatorname{ch}^{n-1} cx} + \frac{m-1}{n-1}\int\frac{\operatorname{sh}^{m -2} cx}{\operatorname{ch}^{n-2} cx} dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}
\int x\operatorname{sh} cx\,dx = \frac{1}{c} x\operatorname{ch} cx - \frac{1}{c^2}\operatorname{sh} cx
\int x\operatorname{ch} cx\,dx = \frac{1}{c} x\operatorname{sh} cx - \frac{1}{c^2}\operatorname{ch} cx
\int \operatorname{th} cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\operatorname{ch} cx|
\int \operatorname{cth} cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\operatorname{sh} cx|
\int \operatorname{th}^2 cx\,dx = x - \frac{1}{c}\operatorname{th} cx
\int \operatorname{cth}^2 cx\,dx = x - \frac{1}{c}\operatorname{cth} cx
\int \operatorname{th}^n cx\,dx = -\frac{1}{c(n-1)}\operatorname{th}^{n-1} cx+\int\operatorname{th}^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{ )}
\int \operatorname{cth}^n cx\,dx = -\frac{1}{c(n-1)}\operatorname{cth}^{n-1} cx+\int\operatorname{cth}^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}
\int \operatorname{sh} bx \operatorname{sh} cx\,dx = \frac{1}{b^2-c^2} (b\operatorname{sh} cx \operatorname{ch} bx - c\operatorname{ch} cx \operatorname{sh} bx) \qquad\mbox{( }b^2\neq c^2\mbox{)}
\int \operatorname{ch} bx \operatorname{ch} cx\,dx = \frac{1}{b^2-c^2} (b\operatorname{sh} bx \operatorname{ch} cx - c\operatorname{sh} cx \operatorname{ch} bx) \qquad\mbox{( }b^2\neq c^2\mbox{)}
\int \operatorname{ch} bx \operatorname{sh} cx\,dx = \frac{1}{b^2-c^2} (b\operatorname{sh} bx \operatorname{sh} cx - c\operatorname{ch} bx \operatorname{ch} cx) \qquad\mbox{( }b^2\neq c^2\mbox{)}
\int \operatorname{sh} (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\operatorname{ch}(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\operatorname{sh}(ax+b)\cos(cx+d)
\int \operatorname{sh} (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\operatorname{ch}(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\operatorname{sh}(ax+b)\sin(cx+d)
\int \operatorname{ch} (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\operatorname{sh}(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\operatorname{ch}(ax+b)\cos(cx+d)
\int \operatorname{ch} (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\operatorname{sh}(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\operatorname{ch}(ax+b)\sin(cx+d)

Викия-сеть

Случайная вики