Викия

Математика

Сходимость по распределению

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

ОпределениеПравить

Пусть дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) и опеделённые на нём случайные величины X,X_n:\Omega \to \mathbb{R}^m,\,n =1,2,\ldots. Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на \mathbb{R}^m, называемую её распределением.

Случайные величины X_n сходятся по распределению к случайной величине X, если распределения \mathbb{P}^{X_n} слабо сходятся к распределению \mathbb{P}^X, то есть

\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X_n}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X}(dx)

для любой ограниченной борелевской функции f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}.

ЗамечанияПравить

  • Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:
\lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}f(X_n) = \mathbb{E}f(X).
  • Предел по распределению не единственен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределениюПравить

F_X \in C(x) \Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty} F_{X_n}(x) = F_X(x) .
\lim\limits_{n \to \infty} p_{X_n}(x) = p_X(x).
\lim\limits_{n\to \infty} f_{X_n}(x) \to f_X(x) почти всюду,

то X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X. Обратное, вообще говоря, неверно!

X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} X \Rightarrow X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X.

Обратное, вообще говоря, неверно.

См. такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики