ФЭНДОМ


Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

ОпределениеПравить

Пусть дано вероятностное пространство $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ и опеделённые на нём случайные величины $ X,X_n:\Omega \to \mathbb{R}^m,\,n =1,2,\ldots $. Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на $ \mathbb{R}^m $, называемую её распределением.

Случайные величины $ X_n $ сходятся по распределению к случайной величине $ X $, если распределения $ \mathbb{P}^{X_n} $ слабо сходятся к распределению $ \mathbb{P}^X $, то есть

$ \lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X_n}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X}(dx) $

для любой ограниченной борелевской функции $ f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R} $.

ЗамечанияПравить

  • Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:
$ \lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}f(X_n) = \mathbb{E}f(X) $.
  • Предел по распределению не единственен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределениюПравить

$ F_X \in C(x) \Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty} F_{X_n}(x) = F_X(x) $.
$ \lim\limits_{n \to \infty} p_{X_n}(x) = p_X(x) $.
$ \lim\limits_{n\to \infty} f_{X_n}(x) \to f_X(x) $ почти всюду,

то $ X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X $. Обратное, вообще говоря, неверно!

$ X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} X \Rightarrow X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X $.

Обратное, вообще говоря, неверно.

См. такжеПравить