Викия

Математика

Сходимость по мере

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве).

ОпределениеПравить

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) - пространство с мерой. Пусть f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots - измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций \{f_n\}_{n=1}^{\infty} сходится по мере к функции f, если

\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0 .

Обозначение: f_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mu} f.

В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) с определёнными на нём случайными величинами X_n,X,\; n=1,2,\ldots, то говорят, что \{X_n\}_{n=1}^{\infty} сходится по вероятности к X, если

\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0.

Обозначение: X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} X.

ЗамечаниеПравить

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.

Свойства сходимости по мереПравить

  • Если последовательность функций f_n сходится по мере к f, то у неё существует подпоследовательность f_{n_k}, сходящаяся к f \mu-почти всюду.
  • Если последовательность функций f_n сходится по мере к f, и \forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \le g, где g \in L^p,\; p \ge 1, то f_n, f \in L^p, и f_n сходится к f в L^p.
  • Если последовательность функций f_n сходится \mu-почти всюду к f, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если последовательность функций f_n сходится в L^p к f, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если последовательность случайных величин X_n сходится по вероятности к X, то она сходится к X и по распределению.

Эта статья содержит материал из статьи Сходимость по мере русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики