Сходимость в Lp
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Сходи́мость в 
в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - вид сходимости измеримых функций или случайных величин.
[править] Определение
Пусть 
- пространство с мерой. Тогда пространство 
измеримых функций, таких что их 
-я степень, где 
, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:
.
Пусть дана последовательность 
. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в к функции 
, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть
.
Пишут: 
.
В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин 
сходится к 
из того же пространства, если
.
Пишут: 
.
[править] Терминология
- Сходимость в пространстве
называется сходимостью в среднем.
- Cходимость в пространстве
называется сходимость в среднеквадратичном.
[править] Свойства сходимости в Lp
- Единственность предела. Если и
, то 
-почти всюду (
-почти наверное).
- Пространство полно. Если
при 
, то существует , такой что .
- Сходимость в влечёт сходимость по мере (по вероятности). Если , то
.
