ФЭНДОМ


Сходи́мость в $ L^p $ в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

ОпределениеПравить

Пусть $ (X,\mathcal{F},\mu) $ - пространство с мерой. Тогда пространство $ L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) $ измеримых функций, таких что их $ p $-я степень, где $ p \ge 1 $, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

$ d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right)^{1/p} $.

Пусть дана последовательность $ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p $. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в $ L^p $ к функции $ f \in L^p $, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

$ \lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0 $.

Пишут: $ f_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} f $.

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин $ \{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ сходится к $ X $ из того же пространства, если

$ \lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0 $.

Пишут: $ X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} X $.

ТерминологияПравить

  • Сходимость в пространстве $ L^1 $ называется сходимостью в среднем.
  • Cходимость в пространстве $ L^2 $ называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в LpПравить

  • Пространство $ L^p $ полно. Если $ \|f_n-f_m\|_p \to 0 $ при $ \min(n,m) \to \infty $, то существует $ f \in L^p $, такой что $ f_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} f $.