Викия

Математика

Сходимость в Lp

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Сходи́мость в L^p в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

ОпределениеПравить

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) - пространство с мерой. Тогда пространство L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) измеримых функций, таких что их p-я степень, где p \ge 1, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right)^{1/p}.

Пусть дана последовательность \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в L^p к функции f \in L^p, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0.

Пишут: f_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} f.

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин \{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) сходится к X из того же пространства, если

\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0.

Пишут: X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} X.

ТерминологияПравить

  • Сходимость в пространстве L^1 называется сходимостью в среднем.
  • Cходимость в пространстве L^2 называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в LpПравить

  • Пространство L^p полно. Если \|f_n-f_m\|_p \to 0 при \min(n,m) \to \infty, то существует f \in L^p, такой что f_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} f.

Викия-сеть

Случайная вики