Викия

Математика

Суммы Вейля

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Определение Править

Суммами Вейля называются тригонометрические суммы вида

\displaystyle\sum_{a<n\leqslant b}e^{2\pi i f(n)},

где n\in\mathbb{Z}, а функция

f(x) = \alpha_k x^k + \alpha_{k-1}x^{k-1} + \ldots + \alpha_1 x + \alpha_0\in \mathbb{R}[x]

есть многочлен степени k с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.

Рациональные суммы Вейля Править

Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена f(x) — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю m) называются суммы Вейля с функцией f(x)=\frac{P_k(x)}{m}:

\displaystyle\sum_{a<n\leqslant b}e^{2\pi i\frac{P_k(n)}{m}},

где m>1 — некоторое фиксированное целое число, n\in\mathbb{Z}, а

P_k(x) = a_k x^k + a_{k-1}x^{k-1} + \ldots + a_1 x + a_0\in \mathbb{Z}[x]

есть многочлен степени k с целыми коэффициентами.

Примеры рациональных сумм Вейля Править

  • Если f(x)=ax, то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
  • Если m=p — простое число, то суммы Вейля с многочленом f(x)=ax^k (k>1) называются суммами Гаусса порядка k, а при k=2 — суммами Гаусса.
  • Если m=p — простое число, то для каждого n, не кратного p, в поле вычетов \mathbb{Z}_p всегда существует число n^*, обратное к n:
    n^*n\equiv 1 \mod p, и при этом n^*\equiv n^{p-2} \mod p.

    Таким образом, суммы Вейля с многочленом f(x) = ax^{p-1}+bx могут быть записаны в виде

    \displaystyle{\sum_{a<n\leqslant b}}'e^{2\pi i\frac{an^*+bn}{p}},

    (штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем n, не кратным p) и называются суммами Клоостермана.

Оценки сумм Вейля Править

Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.

Литература Править

  • Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
  • И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.

Викия-сеть

Случайная вики