Сумма ряда

Сумма ряда, или бесконе́чная су́мма, или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится.

Определение

Пусть $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ — последовательность чисел. Число $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$ называется $n$-ой частичной суммой ряда $\sum_{i=1}^\infty a_i$Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм $S_n$, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число $S=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$, то в этом случае пишут $\sum_{i=1}^{\infty}a_i=S$.

Условия существования суммы ряда.

Для существования суммы числового ряда необходимо стремление его членов к нулю. Достаточные условия существования суммы ряда более сложны.

Примеры

• $\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$, где $| q | < 1$ — сумма геометрической прогрессии, в частности
  • $\sum_{i=0}^\infin {1 \over 2^i} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \ldots = 2$
• $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$.

См. также

• Действия с числовыми рядами
• Ряд Фурье

ar:متسلسلة da:Række (matematik) eo:Serio he:טור (מתמטיקה) nl:Reeks (wiskunde) no:Rekke (matematikk) pl:Szereg (matematyka) scn:Seri (matimatica) sl:Vrsta (matematika) sr:Ред (математика) sv:Serie (matematik) uk:Ряд (математика) vi:Chuỗi (toán học)