ФЭНДОМ


Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятности - это матрица, чьи строки или колонки дают в сумме единицу.

ОпределенияПравить

  • Матрица $ P = (P_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots $ называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если
$ P_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots $ и $ \sum\limits_{j=1}^{\infty} P_{ij} = 1, \quad \forall j $.
  • Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если
$ P_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots $ и $ \sum\limits_{i=1}^{\infty} P_{ij} = 1,\quad \forall i $.
  • Матрица называется два́жды стохасти́ческой, если она стохастическая справа и слева.

ЗамечаниеПравить

Стохастическая матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

CвойстваПравить

  • Если $ P $ и $ Q $ - две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение $ R = P Q $ также является матрицей стохастической слева (справа, дважды).

Регулярная стохастическая матрицаПравить

Конечная стохастическая матрица $ P = (P_{ij}),\; i,j=1,\ldots, N $ называется регуля́рной, если cуществует такое $ n \in \mathbb{N} $, что

$ p^{(n)}_{ij} > 0,\quad \forall i,j=1,\ldots,N $,

где $ p^{(n)}_{ij} $ - элементы $ n $-ой степени матрицы $ P $, то есть $ P^n = \left(p^{(n)}_{ij}\right) $.

Эргодическая теоремаПравить

Если $ P $ - регулярная стохастическая матрица, то найдется вектор $ \mathbf{\pi} = (\pi_1,\ldots,\pi_N)^{\top} $ такой, что

$ P^n \to \mathbf{1}^{\top} \mathbf{\pi} $,

где $ \mathbf{1} = (1,\ldots, 1)^{\top} $ - вектор размерности $ N \times 1 $, состоящий из единиц.nl:Stochastische matrix pl:Macierz stochastyczna