Среднее Колмогорова

Средние Колмогорова (они же - средние по Колмогорову) для действительных чисел $x_1,\ldots,x_n$ — величины вида

$(*)\ \ M(x_{1},\ldots ,x_{n})=\varphi ^{-1}\left({\frac {\varphi (x_{1})+\cdots +\varphi (x_{n})}{n}}\right)$

где $\varphi$ — непрерывная строго монотонная функция, а $\varphi^{-1}$ — функция, обратная к $\varphi$. При $\varphi (x)=x$ получают среднее арифметическое, при $\varphi (x)=\log x$ — среднее геометрическое, при $\varphi(x) = x^{-1}$ — среднее гармоническое, при $\varphi (x)=x^{2}$ — среднее квадратическое, при $\varphi (x)=x^{\alpha },\ \alpha \not =0$ — среднее степенное.

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал (см. [1]), что любая средняя величина — функция $M(x_{1},\ldots ,x_{n})$, являющаяся:

• непрерывной,
• монотонной по каждому $x_i$, $i=1,\ldots ,n,$
• симметрической (значение не меняется при перестановке аргументов)
• среднее от одинаковых чисел равно их общему значению,
• некоторую группу значений можно заменить их собственным средним, не меняя общего среднего,

— имеет вид $(*)$

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое [2, гл.3], [3,п.5.3].

Литература

• [1] Колмогоров А. Н. (1985) Математика и механика, М. — С.136-138.
• [2] Орлов А.И. Эконометрика (3-е изд.). - М.: Экзамен, 2004. - 596 с.
• [3] Орлов А.И. Прикладная статистика. - М.: Экзамен, 2006. - 671 с.

См. также

• Колмогоров, Андрей Николаевич
• Прикладная статистика
• Эконометрика

Шаблон:Нет интервики