Викия

Математика

Среднее Колмогорова

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Средние Колмогорова (они же - средние по Колмогорову) для действительных чисел x_1,\ldots,x_n — величины вида

(*) \ \ M(x_1,\ldots,x_n) = \varphi^{-1} \left( \frac{ \varphi (x_1)+ \cdots +\varphi (x_n) }{n}\right)

где \varphi — непрерывная строго монотонная функция, а \varphi^{-1} — функция, обратная к \varphi. При \varphi(x)=x получают среднее арифметическое, при \varphi(x) = \log xсреднее геометрическое, при \varphi(x) = x^{-1}среднее гармоническое, при \varphi(x) = x^2среднее квадратическое, при \varphi(x) = x^\alpha, \ \alpha \not= 0среднее степенное.

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал (см. [1]), что любая средняя величина — функция M(x_1,\ldots,x_n), являющаяся:

  • непрерывной,
  • монотонной по каждому x_i, i=1,\ldots,n,
  • симметрической (значение не меняется при перестановке аргументов)
  • среднее от одинаковых чисел равно их общему значению,
  • некоторую группу значений можно заменить их собственным средним, не меняя общего среднего,

— имеет вид (*)

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое [2, гл.3], [3,п.5.3].

Литература Править

См. такжеПравить

Шаблон:Нет интервики

Викия-сеть

Случайная вики