ФЭНДОМ


Средние Колмогорова (они же - средние по Колмогорову) для действительных чисел $ x_1,\ldots,x_n $ — величины вида

$ (*) \ \ M(x_1,\ldots,x_n) = \varphi^{-1} \left( \frac{ \varphi (x_1)+ \cdots +\varphi (x_n) }{n}\right) $

где $ \varphi $ — непрерывная строго монотонная функция, а $ \varphi^{-1} $ — функция, обратная к $ \varphi $. При $ \varphi(x)=x $ получают среднее арифметическое, при $ \varphi(x) = \log x $среднее геометрическое, при $ \varphi(x) = x^{-1} $среднее гармоническое, при $ \varphi(x) = x^2 $среднее квадратическое, при $ \varphi(x) = x^\alpha, \ \alpha \not= 0 $среднее степенное.

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал (см. [1]), что любая средняя величина — функция $ M(x_1,\ldots,x_n) $, являющаяся:

  • непрерывной,
  • монотонной по каждому $ x_i $, $ i=1,\ldots,n, $
  • симметрической (значение не меняется при перестановке аргументов)
  • среднее от одинаковых чисел равно их общему значению,
  • некоторую группу значений можно заменить их собственным средним, не меняя общего среднего,

— имеет вид $ (*) $

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое [2, гл.3], [3,п.5.3].

Литература Править

См. такжеПравить

Шаблон:Нет интервики