Викия

Математика

Спектр оператора

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Спектр оператора — мнножество чисел характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.

Конечномерный случай Править

Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора называется множество всех его собственных значений.

Квадратную матрицу n×n можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы.

Общее определение Править

Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над полем k. Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор R(\lambda)=(A - \lambda I)^{-1}, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора. Спектр оператора представляет собой непустой[1] компакт в k. Обычно в качестве k рассматривают комплексную плоскость \mathbb C.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:

  1. дискретным (точечным) спектром называется множество всех собственных значений оператора A — только точечный спектр присутствует в конечномерном случае;
  2. непрерывным спектром называется множество значений \lambda, при которых резольвента (A - \lambda I)^{-1} определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной;
  3. остаточным спектром называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части.

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через r(A). При этом выполняется равенство r(A) = \lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n}.

В комплексном случае резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при \lambda>r(A) она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке z=0.

  1. При условиях:

В квантовой механике Править

Спектр самосопряжённых операторов играет важную роль в квантовой механике, определяя множество возможных значений наблюдаемой при измерении. В частности, спектр гамильтониана определяет допустимые уровни энергии квантовой системы.

См. также Править

Эта статья содержит материал из статьи Спектр оператора русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики