Викия

Математика

Сопряжённое пространство

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Сопряжённое пространство, двойственное пространство в алгебре и функциональном анализе — термин, применяющийся при описании двойственности линейных пространств. Как правило, под сопряжённым пространством понимают линейно-сопряжённое пространство — пространство линейных функционалов.

Линейно-сопряжённое пространство — определениеПравить

Для линейных функционалов на линейном пространстве E можно определить операции сложения и умножения на число:

  • f = f_1 + f_2:\ f(x) = f_1(x) + f_2(x)
  • f = \alpha f_1:\ f(x) = \alpha f_1(x)

Эти определения удовлетворяют аксиомам линейного пространства. То есть, совокупность всех линейных функционалов на E также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к E, оно обычно обозначается E^*. В конечномерном случае сопряжённое пространство E^* имеет ту же размерность что и пространство E. Обычно элементы пространства E обозначают вектором-строкой, а элементы E^* — вектором-столбцом. В тензорном исчислении применяется обозначение x^k для элементов E (верхний, или контравариантный индекс) и x_k для элементов E^* (нижний, или ковариантный индекс).

Верно также что пространство, сопряжённое к сопряжённому E^{**}, совпадает с E.

Трудности в бесконечномерном случаеПравить

Попытка прямо применить вышеприведённое определение в случае бесконечномерных линейных пространств приводит к неконструктивным и малополезным алгебраически сопряжённым пространствам. Для важного случая топологических линейных пространств рассматриваются топологически сопряжённые пространства, состоящие только из непрерывных функционалов. Однако, для топологического линейного сопряжения, пространство, сопряжённое к сопряжённому, вообще говоря, с исходным не совпадает. Пространства, для которых E^{**} = E называются рефлексивными — только для них, строго говоря, можно употреблять термин двойственное пространство.

Комплексно-сопряжённое пространствоПравить

Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство \bar E, совпадающее с E как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа (см. en:Complex conjugate vector space):

{\bar c} {\bar x} = \bar{cx}

При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно- и комплексно-сопряжённые пространства совпадают.


hu:Duális térpl:Przestrzeń sprzężona

Викия-сеть

Случайная вики