Викия

Математика

Собственные векторы, значения и пространства

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Определение собственного числа и собственного вектора квадратной матрицы Править

Собственным вектором квадратной матрицы M называется вектор  \vec v ~, |\vec v| \not=0  , который удовлетворяет соотношению M \vec v = \lambda \vec v, где \lambdaсобственное значение, соответствующее данному собственному вектору. Одному собственному значению может соответствовать несколько (линейно независимых) собственных векторов, в таком случае говорят о собственном подпространстве для данного собственного значения. Собственными векторами линейного преобразования называются собственные векторы матрицы, определяющей это преобразование.

Свойства собственных векторов и значений Править

  • Линейная комбинация собственных векторов матрицы M, соответствующих одному и тому же собственному значению \lambda, также является собственным вектором M с собственным значением \lambda.
  • Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
  • Сумма размерностей собственных подпространств, соответствующих всем собственным значениям равна размерности матрицы (в случае рассмотрения комплексных чисел).
  • Собственные векторы, самосопряженного оператора А соответствующие различным собственным значениям ортогональны. Т. е. если M\vec v_1=\lambda_1v_1, M\vec v_2=\lambda_2v_2 и \lambda_1\ne\lambda_2, то (v_1,v_2)=0\frac{}{}

Для произвольной матрицы это не верно.


Вычисление собственных векторов и значений методом прямых итераций Править

Самым простым способом численного нахождения собственных значений и собственных векторов является метод прямых итераций. Он заключается в построении последовательности векторов \vec v_0,M \vec v_0, MM \vec v_0,MMM \vec v_0 и т. д., то есть в многократном домножении случайного ненулевого начального вектора v_0 на матрицу M. Можно доказать, что если вектор M \vec v_0 имеет ненулевые проекции на все собственные векторы M (случайное взятие координат \vec v_0 гарантирует это с почти единичной вероятностью), то такой итеративный процесс сойдётся к собственному вектору \vec v, соответствующему максимальному собственному значению \lambda_{max}. Вычисление остальных собственных значений возможно с помощью вычитания проекции очередного вектора итераций на подпространство из уже полученных векторов.

Недостаток этого метода заключается в том, что он не работает на матрицах, у которых совпадает абсолютная величина каких-то двух собственных значений. Например, таким образом невозможно найти ни одного собственного вектора дискретного косинусного преобразования: так как оно является обратным по отношению к самому себе, то повторное его применение к случайному вектору приведёт к заведомо расходящейся последовательности, состоящей из двух чередующихся векторов.

Литература Править

Шаблон:Link FA

Шаблон:Link FA Шаблон:Link FA

ar:قيمة ذاتية be-x-old:Уласныя лікі, вэктары й прасторы cs:Vlastní číslo da:Egenværdi, egenvektor og egenrumhe:ערך עצמי hu:Sajátvektor és sajátértéklt:Tikrinių verčių lygtis nl:Eigenwaarde (wiskunde) no:Egenvektor pl:Wartość własnasl:Lastna vrednost sv:Egenvärde, egenvektor uk:Власний вектор ur:ویژہ قدر vi:Vectơ riêng

Викия-сеть

Случайная вики