Викия

Математика

Смешанная частная производная

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

ОпределениеПравить

Пусть функция z = f (x, y), и ее частные производные

\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}

определены в некоторой окрестности точки (x_0, y_0). Тогда предел

\lim_{\Delta y \to 0 }{\frac{\frac{\partial f ( x_0, y_0 + \Delta y)}{\partial x} - \frac{\partial f ( x_0, y_0)}{\partial x} }{\Delta y}},

если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции f(x,y) в точке (x_0,y_0) и обозначается \frac{\partial^2 f (x_0,y_0)}{\partial x \partial y}.
Аналогично определяется \frac{\partial^2 f (x_0,y_0)}{\partial y \partial x} как \lim_{\Delta x \to 0 }{\frac{\frac{\partial f ( x_0 + \Delta x, y_0)}{\partial y} - \frac{\partial f ( x_0, y_0)}{\partial y} }{\Delta x}}, если он (предел) существет.
Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.

Обозначение Править

  • \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f''_{xy} = z''_{xy}
  • \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f''_{yx} = z''_{yx}

Свойства Править

  • Для подавляющего числа функций имеет место равенство \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}. Более того, до определенного времени считалось, что это равенство выполняется всегда. Но это не так.
    Пример Шварца
        f (x,y) = \begin{cases}xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} , x^2+y^2>0 \\ 0 , x=y=0 \end{cases} \Rightarrow \frac{\partial^2 f (0, 0)}{\partial x \partial y} = -1 \ne 1 = \frac{\partial^2 f (0, 0)}{\partial y \partial x}
    То есть смешанные производные в примере Шварца не равны.
  • Имеет место теорема о равенстве смешанных производных
    Теорема Шварца
    Пусть выполнены условия:
    1. функции z=f(x,y), \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} определены в некоторой окрестности точки (x_0, y_0).
    2. \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} непрерывны в точке (x_0, y_0).
    Тогда \frac{\partial^2 f (x_0, y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f (x_0, y_0)}{\partial y \partial x}, то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.
    Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.
  • Тем не менее условие непрерывности смежных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца.
    Пример
    f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}, x^2+y^2>0 \\ 0, x=y=0 \end{cases} \Rightarrow смешанные производные второго порядка равны всюду, однако, разрывны в точке (0,0).

Викия-сеть

Случайная вики