Викия

Математика

Случайное множество

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Случайное множество — измеримое отображение K семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства (\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}) в некоторое пространство \mathcal{M}, элементами которого являются множества.

Существуют различные уточнения понятия. Случайное множество в зависимости от структуры множества значений. Так, если \mathcal{M} — топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространёнными являются случаи:

  • \mathcal{M}=\mathcal{F} — топологическое пространство замкнутых множеств (некоторого топологического пространства S, называемого базовым), тогда случайное множество есть случайное замкнутое множество;
  • \mathcal{M}=\mathcal{O} — топологическое пространство открытых множеств, тогда С.м. есть случайное открытое множество;
  • \mathcal{M}=\mathcal{H} — топологическое пространство пар (внутренность множества, замыкание множества); здесь приходят к так называемым случайным физически различным множествам[1]
  • \mathcal{M}=\mathcal{K} — топологическое пространство компактных множеств, при этом получают случайное компактное множество;
  • \mathcal{M}={\rm conv}(\mathcal{K}) — подпространство выпуклых элементов \mathcal{K}, при этом получают случайное выпуклое множество.

Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства случайного множества. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств.

Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение случайного множества. Существует, однако, класс сепарабельных случайных множества, для которых точечный закон полностью задаёт распределение: это случайное множетсво K со свойством K = \overline{K \cap D}, где D счётно и всюду плотно в S.

Важными частными классами случайного множетва являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества.

Существуют и другие способы определения случайного множества, не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»[2]; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств).

Наиболее развитыми разделами теории С.м. являются предельные теоремы для случайных множеств, а также различные определения и методы вычисления числовых характеристик и сет-характеристик распределений С.м. (Средние множества, Сет-среднее, Сет-медиана, Сет-ожидание и т.п.).

Литература Править

  1. Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
  2. Kendall D.G. (1974) в кн: Stochastic geometry, N.Y.
  • Сhоquеt G. (1953-54) «Ann.Inst.Fourier», t.5, р. 131-295;
  • Ляшенко Н.Н. (1999) Случайное множество. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: БРЭ.

Викия-сеть

Случайная вики