ФЭНДОМ


Шаблон:Тупиковая статья

Эту статью следует викифицировать.

Пусть $ \mathcal{K} $ множество всех компактных подмножеств $ \mathbb{R}^2 $. На $ \mathcal{K} $ определяется хаусдорфова метрика $ h: $

$ h(K_1, K_2) = \inf\left\{\varepsilon > 0 : K_1 \subseteq K_2 \bigoplus b(0,\varepsilon),K_2 \subseteq K_1 \bigoplus b(0, \varepsilon)\right\}. $

С метрикой $ h $, $ \mathcal{K} $ — полное сепарабельное метрическое пространство. Соответствующие открытые подмножества порождают $ \sigma $-алгебру, борелевскую $ \sigma $-алгебру $ \mathfrak{B}_K $ множества $ \mathcal{K} $.

Случайное компактное множество — это измеримая функция из вероятностного пространства $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) $ в измеримое пространство $ (\mathcal{K}, \mathfrak{B}_K) $. Случайные коммпактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона [Matheron, 1975]. Следовательно, их распределение задается вероятностями

$ \mathbf{P}(X \cap K = \emptyset), \ \ \ K \in \mathcal{K}. $

Продолжая, заметим, что распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения $ \mathbf{P}(X \subset K). $

Для $ K=\{x\} $ определена вероятность $ \mathbf{P}(x \in X) $, которая удовлетворяет соотношению:

$ \mathbf{P}(x \in X) = 1-\mathbf{P}(x \not\in X). $

Таким образом функция покрытия дается формулой

$ p_X(x) = \mathbf{P}(x \in X), \ \ \ x \in \mathbb{R}^2. $

Разумеется, $ p_X(x) $ может также интерпретироваться, как среднее индикаторной функции $ \mathbf{1}_X(x): $

$ p_X(x) = \mathbf{E} \mathbf{1}_X(x). $

Функция покрытия принимает значения между $ 0 $ и $ 1 $. Множество $ b_X $ всех $ x \in \mathbb{R}^2 $ с $ p_X(x)>0 $ называется базой $ X. $ Множество $ k_X $ всех $ x \in \mathbb{R}^2 $ с $ p_X(x)=1 $ называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом $ e(X) $. Если $ X_1, X_2, \ldots $ — это последовательность н.о.р. случайных компактных множеств, то почти наверное

$ \bigcap_{i=1}^\infty X_i = e(X) $

и $ \bigcap_{i=1}^\infty X_i $ сходится почти наверное к $ e(X). $

Литература Править

  • Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
  • Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.