Викия

Математика

Случайное компактное множество

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:Тупиковая статья

Эту статью следует викифицировать.

Пусть \mathcal{K} множество всех компактных подмножеств \mathbb{R}^2. На \mathcal{K} определяется хаусдорфова метрика h:

h(K_1, K_2) = \inf\left\{\varepsilon > 0 : K_1 \subseteq K_2 \bigoplus b(0,\varepsilon),K_2 \subseteq K_1 \bigoplus b(0, \varepsilon)\right\}.

С метрикой h, \mathcal{K} — полное сепарабельное метрическое пространство. Соответствующие открытые подмножества порождают \sigma-алгебру, борелевскую \sigma-алгебру \mathfrak{B}_K множества \mathcal{K}.

Случайное компактное множество — это измеримая функция из вероятностного пространства (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) в измеримое пространство (\mathcal{K}, \mathfrak{B}_K). Случайные коммпактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона [Matheron, 1975]. Следовательно, их распределение задается вероятностями

\mathbf{P}(X \cap K = \emptyset), \ \ \ K \in \mathcal{K}.

Продолжая, заметим, что распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения \mathbf{P}(X \subset K).

Для K=\{x\} определена вероятность  \mathbf{P}(x \in X) , которая удовлетворяет соотношению:

 \mathbf{P}(x \in X) = 1-\mathbf{P}(x \not\in X).

Таким образом функция покрытия дается формулой

 p_X(x) = \mathbf{P}(x \in X), \ \ \ x \in \mathbb{R}^2.

Разумеется,  p_X(x) может также интерпретироваться, как среднее индикаторной функции \mathbf{1}_X(x):

 p_X(x) = \mathbf{E} \mathbf{1}_X(x).

Функция покрытия принимает значения между  0 и  1 . Множество  b_X всех  x \in \mathbb{R}^2 с  p_X(x)>0 называется базой  X. Множество  k_X всех  x \in \mathbb{R}^2 с  p_X(x)=1 называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом  e(X) . Если  X_1, X_2, \ldots — это последовательность н.о.р. случайных компактных множеств, то почти наверное

 \bigcap_{i=1}^\infty X_i = e(X)

и  \bigcap_{i=1}^\infty X_i сходится почти наверное к  e(X).

Литература Править

  • Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
  • Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.

Викия-сеть

Случайная вики