Эту статью следует викифицировать.
Пусть $ \mathcal{K} $ множество всех компактных подмножеств $ \mathbb{R}^2 $. На $ \mathcal{K} $ определяется хаусдорфова метрика $ h: $
С метрикой $ h $, $ \mathcal{K} $ — полное сепарабельное метрическое пространство. Соответствующие открытые подмножества порождают $ \sigma $-алгебру, борелевскую $ \sigma $-алгебру $ \mathfrak{B}_K $ множества $ \mathcal{K} $.
Случайное компактное множество — это измеримая функция из вероятностного пространства $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) $ в измеримое пространство $ (\mathcal{K}, \mathfrak{B}_K) $. Случайные коммпактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона [Matheron, 1975]. Следовательно, их распределение задается вероятностями
Продолжая, заметим, что распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения $ \mathbf{P}(X \subset K). $
Для $ K=\{x\} $ определена вероятность $ \mathbf{P}(x \in X) $, которая удовлетворяет соотношению:
Таким образом функция покрытия дается формулой
Разумеется, $ p_X(x) $ может также интерпретироваться, как среднее индикаторной функции $ \mathbf{1}_X(x): $
Функция покрытия принимает значения между $ 0 $ и $ 1 $. Множество $ b_X $ всех $ x \in \mathbb{R}^2 $ с $ p_X(x)>0 $ называется базой $ X. $ Множество $ k_X $ всех $ x \in \mathbb{R}^2 $ с $ p_X(x)=1 $ называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом $ e(X) $. Если $ X_1, X_2, \ldots $ — это последовательность н.о.р. случайных компактных множеств, то почти наверное
и $ \bigcap_{i=1}^\infty X_i $ сходится почти наверное к $ e(X). $
Литература 
Править
- Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
- Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.
