Викия

Математика

Словарь терминов теории групп

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Для общего описания теории групп, смотри группа (математика) и теория групп.

Курсив обозначает ссылку на этот словарь. Шаблон:АБВ p-группа — группа все элементы в которой имеет порядок равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе. Более подробно см. в статье конечная p-группа.

АПравить

Абелева группа. см. коммутативная группа

Аддитивная группа кольца ― группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.

ГПравить

Группа

Группа Шмидта — это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Группа Миллера-Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.

Главный ряд подгруппряд подгрупп, в котором G_{i} — максимальная нормальная в G подгруппа из G_{i+1}, для всех членов ряда.

Гомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) → (H,×) такое, что

f(a * b) = f(a) × f(b)

для произвольных a и b в G.

ДПравить

Действие группы

Длина ряда подгрупп — число n в определении ряда подгрупп.

ЕПравить

Естественный гомоморфизм на факторгруппу по нормальной подгруппе H — это гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому элементу a группы смежный класс aH. Ядром этого гомоморфизма является подгруппа H.

ИПравить

Изоморфизм группбиективный гомоморфизм.

Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.

Индекс подгруппы H в Gмощность (т.е. количество) правых (или левых) классов смежности. Обычно обозначается [G : H]. Для конечных группы G, индекс её подгруппы равен отношению порядков [G : H] = |G |/|H|.

Индексы ряда подгрупп — индексы |G_{i+1}:G_{i}| в определении субнормального ряда подгрупп.

КПравить

Класс смежности/смежный класс (правый или левый) подгруппы H в G. Правый класс смежности элемента g \in G по подгруппе H в G есть множество

gH= \{gh|h\in H\}.

Аналогично определяется левый класс смежности:

Hg= \{hg|h\in H\}.

Класс сопряжённости элемента g \in G есть множество

\{hgh^{-1}|h\in G\}.

Коммутант группы есть подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается [G,G] или G'.

Коммутативная группа. Группа G является коммутативной, или абелевой, если её операция * коммутативна, то есть g*h=h*g \forall g, h \in G.

Коммутатор элементов g и h есть элемент [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh.

Коммутатор подгрупп

Конечная группа — группа с конечным числом элементов.

Конечная p-группаp-группа конечного порядка p^n.

Конечно определённая группа — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.

Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечной системой образующих.

Кручение, TorG, коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка.

ЛПравить

Локальное свойство группы G. Говорят, что группа G обладает локальным свойством P, если любая конечно порождённая подгруппа из G обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.

Локальная теорема. Говорят, что для некоторого свойства P групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им. Локальная теорема справедлива, например, в классе абелевых групп, но не справедлива в классе конечных групп.

МПравить

Метабелева группа ― группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).

Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (т. е. не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Минимальная нормальная подгруппа

Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.

НПравить

Нильпотентная группа — группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.

Норма группы — совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.

Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор H при действии G на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть

N(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}.

Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель). H есть нормальная подгруппа G, если для любого элемента g в G gH = Hg, то есть правые и левые классы смежности H в G совпадают. Иначе говоря, если \forall g \in G\quad \forall h \in H\quad ghg^{-1} \in H.

Нормальный ряд подгрупп - ряд подгрупп, в котором G_{i} нормальна в G, для всех членов ряда.

ОПравить

Образующая

ППравить

Перестановочные элементы — пара элементов a,b\in G такие что ab=ba.

Период группынаименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.

Периодическая группа ― группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.

Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.

Подгруппа кручения см. кручение.

Для произвольного подмножества S в G, <S> обозначает наименьшую подгруппу G, содержащую S.

Подгруппа Томпсона J(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами максимального порядка из G.

Подгруппа Фиттинга F(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами из G.

Подгруппа Фраттини \Phi(G) группы G — есть пересечение всех максимальных подгрупп группы G, если таковые существуют, и сама группа G в противном случае.

Полинильпотентная группа

Полупрямое произведение групп G и H над гомоморфизмом \phi: G \rightarrow \mbox{Aut}(H) (обозначается по разному, в том числе Gφ H) — множество G × H, наделенное операцией *, для которой (g_1, h_1) * (g_2, h_2) = (g_1\phi(h_1)(g_2), h_1h_2) для любых g_1,g_2 \in G, h_1,h_2 \in H.

Порядок группы (G,*) — мощность G (т.е. число её элементов).

Порядок элемента g группы G — минимальное натуральное число m такое, что gm = e. В случае, если такого m не существует, считается, что g имеет бесконечный порядок.

Простая группа — группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной {e} и всей группы.

Примарная группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о p-группе.

Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)(g2,h2) = (g1 · g2,h1h2).

РПравить

Разрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.

Разрешимый радикал S(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами из G.

Ряд подгрупп. Конечная последовательность подгрупп, G_0, G_1, ..., G_n называется рядом подгрупп, если G_i \leq G_{i+1}, для всех i\in\left\{0,...,n-1\right\},~G_0=1,~G_n=G. Такой ряд записывают в виде

1=G_0\leq G_1\leq ... \leq G_n=G

или в виде

G=G_n\geq G_{n-1}\geq ... \geq G_0=1

СПравить

Сверхразрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.

Свободная группа. Свободной группой, порождённой множеством A, называется группа, порождённая элементами этого множества и не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.

Свободное произведение

Силовская подгруппаp-подгруппа в G, имеющая порядок p^n, где |G| = p^ns, НОД(p, s) = 1.

Соотношение — тождество, которому удовлетворяют все образующие группы(при задании группы образующими и соотношениями).

Стабилизатор элемента p множества M, на котором действует группа G - подгруппа St_G(p) \subset G, все элементы которой оставляют p на месте: g\cdot p = p.

Субнормальный ряд подгруппряд подгрупп, в котором подгруппа G_{i} нормальна в подгруппе G_{i+1}, для всех членов ряда.

ФПравить

Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H есть множество классов смежности подгруппы H с умножением, определяемым следующим образом:

(aH)*(bH)=(ab)H.

Факторы субнормального рядафактор-группы G_{i+1}/G_{i} в определении субнормального ряда подгрупп.

ХПравить

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Холлова подгруппа — подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

ЦПравить

Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g \in G | gh = hg для любого h \in G},

иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.

Централизатор элемента есть максимальная подгруппа, коммутирующая с этим элементом.

Центральный ряд подгруппнормальный ряд подгрупп, в котором G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i}), для всех членов ряда.

Циклическая группа - группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

ШПравить

ЭПравить

Экспонента \exp(G) конечной группы G — числовая характеристика группы, равная наименьшему общему кратному порядков всех элементов группы G.

ЯПравить

Ядро гомоморфизма — прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, более того, любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.

Викия-сеть

Случайная вики