Викия

Математика

Скалярное произведение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Скаля́рное произведе́ние — определённая на линейном пространстве L над полем K вещественных (или комплексных) чисел симметричная билинейная форма (соответственно, эрмитова форма), рассматриваемая в качестве составной части определения этого пространства.

Чаще всего рассматривается случай, когда скалярное произведение является положительно определённым. В этом случае на пространстве L можно ввести порождённую скалярным произведением норму вида


\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle},

удовлетворяющую неравенству Коши — Буняковского.

Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством. При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.

Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т.н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

Связанные определенияПравить

На основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:

  • Углом между двумя ненулевыми векторами на евклидовой плоскости называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
        \langle\vec a, \vec b\rangle = |\vec a| |\vec b| \cos \phi.
    В случае, если плоскость является псевдоевклидовой, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
        
|\langle\vec a, \vec b\rangle| = |\vec a| |\vec b| \operatorname{ch} \phi.
  • Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно 0. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены действительно являются ортогональными (в смысле этого определения) друг к другу в некотором гильбертовом пространстве.

Примеры Править

В трёхмерном вещественном линейном пространстве векторов \vec x = (x_1, x_2, x_3) введение скалярного произведения по формуле  \langle\vec x, \vec y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 превращает это пространство в евклидово пространство.

В таком же, но комплексном, пространстве, скалярное произведение вводится по несколько другой формуле:  \langle\vec x, \vec y\rangle = x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+x_3\overline{y_3}. Здесь через \overline{a} обозначено число, комплексно сопряжённое к a. Без комплексного сопряжения требование эрмитовости в определении скалярного произведения было бы нарушено.

Ещё примеры приведены в статье Гильбертово пространство.

2 + 1 = 3


hu:Sakláris szorzatsl:skalarni produkt

Викия-сеть

Случайная вики