ФЭНДОМ


σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — это алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение Править

Семейство $ \mathfrak{S} $ подмножеств множества $ X $ называется σ-алгеброй если оно удовлетворяет следующим свойствам:

  1. $ \mathfrak{S} $ содержит пустое множество.
  2. Если $ E\in \mathfrak{S} $ то и его дополнение $ X\backslash E\in\mathfrak{S} $ .
  3. Объединение счётного подсемейства из $ \mathfrak{S} $ также в $ \mathfrak{S} $.

Замечания Править

  • Для любой системы множеств $ \mathcal{S} $ существует минимальная сигма-алгебра $ \sigma(\mathcal{S}) $, являющаяся его надмножеством.
  • σ-алгебра, порождённая случайной величиной $ X $, определяется следующим образом:
$ \sigma(X) = \left\{X^{-1}(B) \vert B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\} $,
где $ \mathcal{B}(\mathbb{R}) $борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой.

Примеры Править

  • Для любого множества $ X $ можно построить тривиа́льную σ-алгебру $ \{X,\varnothing\} $, где $ \varnothing $ — пустое множество.
  • Борелевская сигма-алгебра.

Эта статья содержит материал из статьи Сигма-алгебра русской Википедии.