Сигма-алгебра

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения).

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — это алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

[править] Определение

Семейство подмножеств множества называется σ-алгеброй если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. содержит пустое множество.
2. Если то и его дополнение .
3. Объединение счётного подсемейства из также в .

[править] Замечания

• Для любой системы множеств существует минимальная сигма-алгебра , являющаяся его надмножеством.
• σ-алгебра, порождённая случайной величиной , определяется следующим образом:

,

где — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой.

[править] Примеры

• Для любого множества можно построить тривиа́льную σ-алгебру , где — пустое множество.
• Борелевская сигма-алгебра.

Эта статья содержит материал из статьи Сигма-алгебра русской Википедии.