Викия

Математика

Свёртка (математический анализ)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Свёртка фу́нкций в функциональном анализе — это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Свёртка функций Править

Пусть f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} — две функции вещественной переменной, интегрируемые относительно меры Лебега. Тогда их свёрткой называется функция

f  * g (t) = \int\limits_{\mathbb R} f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau.

Свойства Править

f * g = g * f .
f  * (g  * h) = (f  * g)  * h.
f  * (g + h) = (f  * g) + (f  * h);
  • Ассоциативность умножения на скаляр:
a (f  * g) = (a f)  * g = f  * (a g), \quad \forall a \in \mathbb{R}.
  • Правило дифференцирования:
\mathrm{D}(f  * g) = \mathrm{D}f  * g = f  * \mathrm{D}g,

где \mathrm{D}f обозначает производную функции f.

  • Свойство Фурье-образа:
 \mathcal{F}[f  * g] = \mathcal{F} [f] \cdot \mathcal{F} [g],

где  \mathcal{F}[f] обозначает преобразование Фурье функции f.

Свёртка на группах Править

Пусть Gгруппа Ли, оснащённая мерой Хаара m, и f,g:G \to \mathbb{R} — две функции, определённые на G. Тогда их свёрткой называется функция

f  * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G.

Свёртка мер Править

Пусть есть борелевское пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) и две меры \mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}. Тогда их свёрткой называется мера

\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),

где \mu \otimes \nu обозначает произведение мер \mu и \nu.

Cвойства Править

f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}.

Тогда \mu * \nu также абсолютно непрерывна относительно m, и её производная Радона — Никодима f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm} имеет вид

f_{\mu * \nu} = f_{\mu} * f_{\nu}.

Свёртка распределений Править

Если \mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Yраспределения двух независимых случайных величин X и Y, то

\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y,

где \mathbb{P}^{X+Y} — распределение суммы X+Y. В частности, если X,Y абсолютно непрерывны и имеют плотности f_X,f_Y, то случайная величина X+Y также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

f_{X+Y} = f_X  * f_Y.

СсылкиПравить

Эта статья содержит материал из статьи Свёртка (математический анализ) русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики