Свёртка (математический анализ)

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Свёртка фу́нкций в функциональном анализе — это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Содержание 1 Свёртка функций 1.1 Свойства 2 Свёртка на группах 3 Свёртка мер 3.1 Cвойства 3.2 Свёртка распределений 4 Ссылки

[править] Свёртка функций

Пусть — две функции вещественной переменной, интегрируемые относительно меры Лебега. Тогда их свёрткой называется функция

.

[править] Свойства

• Коммутативность:

.

• Ассоциативность:

.

• Дистрибутивность:

;

• Ассоциативность умножения на скаляр:

.

• Правило дифференцирования:

,

где обозначает производную функции .

• Свойство Фурье-образа:

,

где обозначает преобразование Фурье функции .

[править] Свёртка на группах

Пусть — группа Ли, оснащённая мерой Хаара , и — две функции, определённые на . Тогда их свёрткой называется функция

.

[править] Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство и две меры . Тогда их свёрткой называется мера

,

где обозначает произведение мер и .

[править] Cвойства

• Пусть абсолютно непрерывны относительно меры Лебега . Обозначим их производные Радона — Никодима:

.

Тогда также абсолютно непрерывна относительно , и её производная Радона — Никодима имеет вид

.

• Если — вероятностные меры, то также является вероятностной мерой.

[править] Свёртка распределений

Если — распределения двух независимых случайных величин и , то

,

где — распределение суммы . В частности, если абсолютно непрерывны и имеют плотности , то случайная величина также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

.

[править] Ссылки

• Java-Applet
• Java-Applet

Эта статья содержит материал из статьи Свёртка (математический анализ) русской Википедии.