Викия

Математика

Ряд Фурье

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ряд Фурье — в математике — способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники.

Определение Править

Классическое определение. Править

Тригонометрическим рядом Фурье называют функциональный ряд вида

\frac{a_0}{2} + a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \cos 2x + b_2 \sin 2x + \ldots

или, более сжато

\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)
(1)

Постоянные числа a_0\!, a_n\! и b_n\! (n = 1, 2, \ldots\!) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция f(x)\! с периодом 2\pi\!, так как \sin nx\! и \cos nx\! являются периодическими функциями с периодом 2\pi\!.

Общее определение Править

Пусть в Гильбертовом пространстве R даны ортогональная система \{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\} и f — произвольный элемент из R. Последовательность чисел

c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{||\varphi_k||^2}

называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента f по системе \{\varphi_k\}, а ряд

\sum_k c_k \varphi_k

называется рядом Фурье элемента f по ортогональной системе \{\varphi_k\}.

Справедливо т. н. неравенство Бесселя:

\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le ||f||^2

Если выполнено равенство Парсеваля

\sum_{k=1}^\infty c_k^2 = ||f||^2,

то нормированная система \{\varphi_k\} называется замкнутой.

Справедливо утверждение: в сепарабельном евклидовом пространстве R всякая полная ортогональная нормированная система является замкнутой и наоборот.

Сходимость ряда Фурье Править

Теорема: Шаблон:Начало цитаты Если периодическая функция f(x)\! с периодом 2\pi\! — кусочно-монотонная[1] и ограниченная на отрезке [-\pi, \pi]\!, то тригонометрический ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s(x)\! равна значению функции f(x)\! в точках ее непрерывности. В точках разрыва f(x)\! сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции f(x)\! справа и слева. Шаблон:Конец цитаты

Из этой теоремы следует, что тригонометрические ряды Фурье применимы к достаточно широкому классу функций.

См. также Править

Примечания Править

  1. Функция называется кусочно-монотонной на определенном отрезке, если этот отрезок может быть разбит на конечное число интервалов так, что на каждом интервале функция будет неубывающей, либо невозрастающей (то есть монотонной).

Литература Править

  • Рудин У. Основы математического анализа 1976
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интергальное исчисления для ВТУЗов, т. 2. М., «Наука», 1964.


ar:متسلسلة فوريي

ca:Sèrie de Fourier cs:Fourierova řada da:Fourierrækkefa:سری فوریهgl:Serie de Fourier he:טור פורייה hu:Fourier-sorlt:Furjė eilutė nl:Fourierreeks pl:Szereg Fourierask:Fourierov rad sv:Fourier-serie th:อนุกรมฟูริเยร์ vi:Chuỗi Fourier

Викия-сеть

Случайная вики