Викия

Математика

Ряд Фарея

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Дроби Фарея (ряды Фарея), также последовательность Фарея или таблица Фарея (Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang) — семейство конечных подмножеств рациональных чисел.

Определение Править

Последовательность Фарея n-ного порядка представляет собой возрастающий ряд всех несократимых дробей, знаменатель которых меньше или равен n:

F_n\stackrel{def}{=}\left\{\frac{a_i}{b_i}:\;0 \leq a_i \leq b_i \leq n,\;GCD(a_i,\;b_i)=1,\;\frac{a_i}{b_i}<\;\frac{a_{i+1}}{b_{i+1}}\right\}.

Пример Править

Последовательности Фарея для n от 1 до 8

F1 = {01, 11}
F2 = {01, 12, 11}
F3 = {01, 13, 12, 23, 11}
F4 = {01, 14, 13, 12, 23, 34, 11}
F5 = {01, 15, 14, 13, 25, 12, 35, 23, 34, 45, 11}
F6 = {01, 16, 15, 14, 13, 25, 12, 35, 23, 34, 45, 56, 11}
F7 = {01, 17, 16, 15, 14, 27, 13, 25, 37, 12, 47, 35, 23, 57, 34, 45, 56, 67, 11}
F8 = {01, 18, 17, 16, 15, 14, 27, 13, 38, 25, 37, 12, 47, 35, 58, 23, 57, 34, 45, 56, 67, 78, 11}

Свойства Править

Последовательность Фарея порядка n+1 можно построить из последовательности порядка n по следующему правилу:

  1. Копируем все элементы последовательности порядка n.
  2. Если сумма знаменателей в двух соседних дробях последовательности порядка n дает число не большее, чем n+1, встраиваем между этими дробями новую дробь с числителем, равным сумме числителей соседних дробей, и знаменателем, равным сумме знаменателей соседних дробей.

Если p_1/q_1<p_2/q_2 две соседние дроби в ряде Фарея, тогда q_1p_2-q_2p_1=1.


Доказательсво. Заметим, что треугольник на плоскости с вершинами A=(0,\;0), B=(p_1,\;q_1) и C=(p_2,\;q_2) не может содержать целых точек, отличных от вершин. Иначе, если целая точка (r,\;s) содержится в \triangle ABC, то дробь r/s лежит между p_1/q_1 и p_2/q_2, а знаменатель s не превосходит \max\{q_1,\;q_2\}. Значит, по формуле Пика, его площадь равна 1/2. С другой стороны, площадь \triangle ABC равна (q_1p_2-q_2p_1)/2. ч.т.д.

История Править

Биография Фарея занимает двадцать строк словарной статьи, в которой расписаны его заслуги, как геолога. Однако та единственная работа, обессмертившая его имя, там не упомянута.

Джон Фарей (John Farey) был геологом по образованию, его единственным вкладом в математику были дроби, названные его именем. В 1816 году была опубликована статья Фарея «On a curious property of vulgar fractions» («О интересном свойстве обыкновенных дробей»), в которой Фарей определил последовательность F_n и описал то самое «интересное свойство» итеративного построения последовательностей.

Эта статья Фарея дошла до Коши, который в том же году опубликовал доказательство. Интересен тот факт, что «интересное свойство» и сама последовательность, описанные Фареем в 1816 году было использовано Харосом в его статье 1802 года об аппроксимации десятичных дробей дробями обыкновенными. В вопросе авторства историки расходятся: Харди считает Хароса исходным автором последовательности, однако МакТьютор указывает на тот факт, что Харос не дал ни описания последовательности в общем виде, ни доказательства «интересного свойства».

См. также Править

Ссылки Править


ca:Successió de Fareypl:Ciąg Fareya

Викия-сеть

Случайная вики