Викия

Математика

Ряд Тейлора

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки {a}, тогда ряд

f(x) = f(a)+\sum_{k=1}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

В случае, если a=0, этот ряд иногда называется рядом Маклорена.

Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Формула Тейлора Править

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

тогда: \exists точка \xi\in (x,a) при x < a или \xi\in (a,x) при x > a:

f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форме Шлемильха — Роша).

Различные формы остаточного члена Править

В форме Лагранжа:

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1


В форме Коши: вепвепвкеп

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1

Ослабим предположения:

  • Пусть функция f(x) имеет n-1 производную в некоторой окрестности точки a
  • И n производную в самой точке a, тогда:
R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ] — остаточный член в асимптотической форме (форме Пеано)

Ряды Тейлора некоторых функций Править

Интересные факты

Несмотря на то, что фамилия Тейлор правильно произносится с ударением на первом слоге, некоторые преподаватели старой закалки любят говорить Тейлóр и таким образом проверять кто же из студентов ходил на лекции, а кто нет. В некоторых случаях подобный трюк проделывают с фамилией <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%5Cu0430%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%7C%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%5Cu0430%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-7752124154f252a814fc05" href="/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85&amp;action=edit&amp;redlink=1" class="new" title="Банах (такой страницы не существует)">Банаха</a>.

Литература Править

Ссылки Править

hu:Taylor-sornl:Taylorreeks pl:Szereg Taylorasl:Taylorjeva vrsta sv:Taylorserie

Викия-сеть

Случайная вики