Викия

Математика

Ряд Лорана

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Необходимо перенести в эту статью содержимое статьи Теорема Лорана и поставить перенаправление. Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (z-a), то есть ряд вида

\sum_{n\in \Z}a_n(z-a)^n

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

  1. \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^nправильная часть ряда Лорана и
  2. \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-a)^n}главная часть ряда Лорана.

При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части.

СвойстваПравить

  • Eсли внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо
D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}
  • Во всех точках своего кольца сходимости D ряд Лорана сходится абсолютно;
  • Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
  • На любом компактном множестве K\subset D ряд сходится равномерно;
  • Сумма ряда Лорана в D есть аналитическая функция f(z);
  • Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в D почленно;
  • Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в D, то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
  • Коэффициенты a_n ряда Лорана определяются через его сумму f(z) формулами
a_n=\frac1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}
где \gamma(t)=\rho e^t, t\in [0,2\pi], r<\rho<R — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

ПрименениеПравить

Применение ряд Лорана основано главным образом на том (теорема Лорана), что любая однозначная аналитическая функция f(z) в кольце

D= \{z\in\mathbb C\,|\,r<|z-a|<R<\infty\}

представима в D сходящимся рядом Лорана. В частности, в проколотой окрестности

D= \{z\in\mathbb C\,|\,0<|z-a|<R<\infty\}

изолированной особой точки a однозначная аналитическая функция f(z) представима рядом Лорана, который и служит основным инструментом исследования ее поведения в окрестности изолированной особой точки.ca:Sèrie de Laurent cs:Laurentova řadafa:رشتهٔ لورانhe:טור לורןpl:Szereg Laurenta

Викия-сеть

Случайная вики