Викия

Математика

Ротор

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ротор (Вихрь) — векторный оператор векторного поля, показывает насколько и в какую сторону закручено поле в каждой точке. Ротор обозначается значком rot или : \nabla \times F, где \nabla векторный дифференциальный оператор набла, и F изучаемое векторное поле.

В декартовой системе координат \nabla \times F вычисляется следующим образом: {\rm rot}(\vec i F_x+\vec j F_y + \vec k F_z)=
\vec i \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)+
\vec j \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)+
\vec k \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)

Для простоты восприятия можно представлять ротор как

\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\  \\
\frac{\partial}{\partial y} \\  \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix} \times F

Или как детерминант следующей матрицы:

\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\  \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
 \\  F_x & F_y & F_z \end{pmatrix}

где i, j и k — единичные векторы для осей x, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация Править

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то для циклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют равномерно и прямолинейно, ротор будет равен нулю.

Основные свойства Править

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

\operatorname{rot}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) 
= a\;\operatorname{rot} ~\mathbf{F}  
+ b\;\operatorname{rot} ~\mathbf{G}

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.


  • Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:
\operatorname{rot} ~\varphi \mathbf{F} 
= \operatorname{grad} ~\varphi ~\times \mathbf{F} 
+ \varphi \;\operatorname{rot} ~\mathbf{F},

или

\nabla\times(\varphi \mathbf{F}) 
= (\nabla\varphi) \times \mathbf{F} 
+ \varphi \;(\nabla\times\mathbf{F}).


\operatorname{div} ~\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0

или

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0


\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0 \Leftrightarrow 
\mathbf{F}=\operatorname{grad} ~\varphi


\oint_{C}\mathbf{F}\,\mathbf{dl} = 
\int \operatorname{rot} ~\mathbf{F}\,\mathbf{dS}

См. также Править


Викия-сеть

Случайная вики