Викия

Математика

Резольвента алгебраического уравнения

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Шаблон:Сирота

Резольвента алгебраического уравнения \,\! f(x) = 0 степени n — это алгебраическое уравнение \,\! g(y) = 0 с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет решить исходное уравнение путём решения более простых уравнений (т. е. таких, что их степень не больше n).

Также резольвентой называют само рациональное выражение \,\! y = y(x_1, x_2, ..., x_n), т. е. зависимость коэффициентов резольвенты как уравнения (g(y) = 0) от коэффициентов исходного уравнения.

Пример Править

Рассмотрим уравнение 4-й степени:

\,\! x^4 + px^2 + qx + r = 0

Для решения этого уравнения используется кубическая резольвента

\,\! y^3 - 2py^2 + (p^2 - 4r^2)y + q^2 = 0

Корни резольвенты \,\! y_1, y_2, y_3 связаны с корнями исходного уравнения \,\! x_1, x_2, x_3, x_4 (которые нам и нужно найти) следующими соотношениями:

\,\! y_1 = (x_1 + x_2)(x_3 + x_4)
\,\! y_2 = (x_1 + x_3)(x_2 + x_4)
\,\! y_3 = (x_2 + x_4)(x_2 + x_3)

Корни резольвенты могут быть решены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между \,\! y_i и \,\! x_i вместе с исходным уравнением дают систему из 4-х алгебраических уравнений с 4-мя неизвестными, которая легко решается.

Викия-сеть

Случайная вики