Викия

Математика

Рациональное число

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

 Рациона́льное число́ —это число, представляемое обыкновенной дробью \frac{m}{n}, где mцелое число, nнатуральное число. При этом число m называется числителем, а число nзнаменателем дроби \frac{m}{n}.

Определение Править

Рассмотрим семейство пар (m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}. Назовём две пары эквивалентными: (m,n) \sim (m',n'), если

m\cdot n' = m' \cdot n.

Легко проверить, что введённое таким образом бинарное отношение \sim является отношением эквивалентности на \mathbb{Z}\times \mathbb{N}. Фактор-множество \mathbb{Q} \equiv \mathbb{Z} \times \mathbb{N} / \sim называется множеством рациональных чисел, а класс эквивалентности \bigl[(m,n)\bigr] рациональным числом.

Обозначение Править

принято использовать дробную запись:

q = \bigl[(m,n)\bigr] \equiv \frac{m}{n}\in \mathbb{Q}.

Упорядоченное Править

Бинарные операции Править

Введём на множестве \mathbb{Q} бинарные операции сложения + и умножения \cdot на основе аналогичных операций на множестве целых чисел следующим образомect">п:

\bigl[(m_1,n_1)\bigr] + \bigl[(m_2,n_2)\bigr] = \bigl[(m_1 \cdot n_2 + n_1 \cdot m_2, n_1 \cdot n_2 )\bigr];
\bigl[(m_1,n_1)\bigr] \cdot \bigl[(m_2,n_2)\bigr] = \bigl[( m_1 \cdot m_2, n_1 \cdot n_2 )\bigr].

Или в дробной записи.:

ect">п
лно</a> в естественной <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu043c%5Cu0435%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu043a%5Cu0435%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu041c%5Cu0435%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu043a%5Cu0430%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu041c%5Cu0435%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu043a%5Cu0430%7C%5Cu043c%5Cu0435%5Cu0442%5Cu0440%5Cu0438%5Cu043a%5Cu0435%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14060618684e8c9343631d5" href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Метрика" class="mw-redirect">метрике</a> <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Cvarrho%28q_1%2Cq_2%29%20%3D%20%5C%5Cbigl%7Cq_1%20-%20q_2%5C%5Cbigr%7C.%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14060618684e8c9343631d5" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> Его пополнением является множество <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0434%5Cu0435%5Cu0439%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0438%5Cu0442%5Cu0435%5Cu043b%5Cu044c%5Cu043d%5Cu044b%5Cu0445%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0435%5Cu043b%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0412%5Cu0435%5Cu0449%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043d%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0412%5Cu0435%5Cu0449%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0435%5Cu043d%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%7C%5Cu0434%5Cu0435%5Cu0439%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu0438%5Cu0442%5Cu0435%5Cu043b%5Cu044c%5Cu043d%5Cu044b%5Cu0445%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu0435%5Cu043b%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14060618684e8c9343631d5" href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Вещественное число">действительных чисел</a>.
  • Множество рациональных чисел <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0441%5Cu0447%5Cu0451%5Cu0442%5Cu043d%5Cu043e%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0421%5Cu0447%5Cu0451%5Cu0442%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043c%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0436%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu043e%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0421%5Cu0447%5Cu0451%5Cu0442%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043c%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0436%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu043e%7C%5Cu0441%5Cu0447%5Cu0451%5Cu0442%5Cu043d%5Cu043e%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14060618684e8c9343631d5" href="/wiki/%D0%A1%D1%87%D1%91%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Счётное множество">счётно</a>.</li>
  • Рассматриваемое как <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu043f%5Cu043e%5Cu0434%5Cu043c%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0436%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu043e%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu043f%5Cu043e%5Cu0434%5Cu043c%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0436%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu043e%22%2C%22wasblank%22%3Atrue%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu043f%5Cu043e%5Cu0434%5Cu043c%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0436%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu043e%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14060618684e8c9343631d5" href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Подмножество">подмножество</a> действительных чисел с <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu043c%5Cu0435%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0439%20%5Cu041b%5Cu0435%5Cu0431%5Cu0435%5Cu0433%5Cu0430%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu041c%5Cu0435%5Cu0440%5Cu0430%20%5Cu041b%5Cu0435%5Cu0431%5Cu0435%5Cu0433%5Cu0430%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu041c%5Cu0435%5Cu0440%5Cu0430%20%5Cu041b%5Cu0435%5Cu0431%5Cu0435%5Cu0433%5Cu0430%7C%5Cu043c%5Cu0435%5Cu0440%5Cu043e%5Cu0439%20%5Cu041b%5Cu0435%5Cu0431%5Cu0435%5Cu0433%5Cu0430%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14060618684e8c9343631d5" href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Мера Лебега">мерой Лебега</a>, множество рациональных чисел <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0438%5Cu0437%5Cu043c%5Cu0435%5Cu0440%5Cu0438%5Cu043c%5Cu043e%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0418%5Cu0437%5Cu043c%5Cu0435%5Cu0440%5Cu0438%5Cu043c%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043c%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0436%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu043e%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0418%5Cu0437%5Cu043c%5Cu0435%5Cu0440%5Cu0438%5Cu043c%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043c%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0436%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu043e%7C%5Cu0438%5Cu0437%5Cu043c%5Cu0435%5Cu0440%5Cu0438%5Cu043c%5Cu043e%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14060618684e8c9343631d5" href="/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Измеримое множество">измеримо</a> и имеет меру нуль. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Таким образом типичное действительное число иррационально.</li>
  • Каждое рациональное число является <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0430%5Cu043b%5Cu0433%5Cu0435%5Cu0431%5Cu0440%5Cu0430%5Cu0438%5Cu0447%5Cu0435%5Cu0441%5Cu043a%5Cu0438%5Cu043c%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0410%5Cu043b%5Cu0433%5Cu0435%5Cu0431%5Cu0440%5Cu0430%5Cu0438%5Cu0447%5Cu0435%5Cu0441%5Cu043a%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0410%5Cu043b%5Cu0433%5Cu0435%5Cu0431%5Cu0440%5Cu0430%5Cu0438%5Cu0447%5Cu0435%5Cu0441%5Cu043a%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu0447%5Cu0438%5Cu0441%5Cu043b%5Cu043e%7C%5Cu0430%5Cu043b%5Cu0433%5Cu0435%5Cu0431%5Cu0440%5Cu0430%5Cu0438%5Cu0447%5Cu0435%5Cu0441%5Cu043a%5Cu0438%5Cu043c%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14060618684e8c9343631d5" href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Алгебраическое число">алгебраическим</a>. Обратное неверно.</li>
  • Множество рациональных чисел <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu043f%5Cu043b%5Cu043e%5Cu0442%5Cu043d%5Cu043e%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0412%5Cu0441%5Cu044e%5Cu0434%5Cu0443%20%5Cu043f%5Cu043b%5Cu043e%5Cu0442%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043c%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0436%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu043e%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0412%5Cu0441%5Cu044e%5Cu0434%5Cu0443%20%5Cu043f%5Cu043b%5Cu043e%5Cu0442%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0435%20%5Cu043c%5Cu043d%5Cu043e%5Cu0436%5Cu0435%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0432%5Cu043e%7C%5Cu043f%5Cu043b%5Cu043e%5Cu0442%5Cu043d%5Cu043e%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14060618684e8c9343631d5" href="/wiki/%D0%92%D1%81%D1%8E%D0%B4%D1%83_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Всюду плотное множество" class="mw-redirect">плотно</a>:
    <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Cforall%20q_1%2Cq_2%5C%5Cin%20%5C%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5C%5Cquad%20%5C%5Cbigl%28%20q_1%20%3C%20q_2%20%5C%5Cbigr%29%20%5C%5CRightarrow%20%5C%5Cbigl%28%20%20%5C%5Cexists%20q_3%20%5C%5Cin%20%5C%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5C%5Cquad%20q_1%20%3C%20q_3%20%3C%20q_2%20%5C%5Cbigr%29.%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14060618684e8c9343631d5" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />
    </li>

    Литература Править

    • И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.

    См. также Править


    Шаблон:Категория только в статьях
  • Викия-сеть

    Случайная вики