Викия

Математика

Рациональная функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид

\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}

где  P_n(x_1,\dots,x_n),  Q_m(x_1,\dots,x_m) — многочлены от любого числа переменных.

Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:

R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, где P(x) и Q(x) — многочлены.


Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Свойства Править

Правильные дроби Править

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = P^'_{n-m}(x) + \frac{P^{''}_{m-1}(x)}{Q_m(x)}

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (x-a)^k (a — вещественный корень Q(x)) либо (x^2+px+q)^k (где x^2+px+q не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

Викия-сеть

Случайная вики