Викия

Математика

Расширенная числовая прямая

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение1 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Расширенная числовая прямая \overline{\mathbb{R}} (читается «эр с чертой») — множество вещественных чисел \mathbb{R}, дополненное двумя элементами: +\infty (положительная бесконечность) и -\infty (отрицательная бесконечность), то есть


\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}

Бесконечности +\infty и -\infty, которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами, в отличие от вещественных чисел a \in \mathbb{R}, называемых конечными числами. При этом для любого вещественного числа x \in \mathbb{R} по определению полагают выполненными неравенства


-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty

Cледует отличать расширенную числовую прямую \overline{\mathbb{R}} от множества вещественных чисел, дополненного одной бесконечностью \infty. Такая система называется проективной прямой, и обозначается \mathbb{R}P^1

Мотивировка Править

При формулировке многих теорем и определений математического анализа приходится отдельно рассматривать случаи «конечного» и «бесконечного». Например, отдельно формулируются понятия сходящейся последовательности


\lim_{n \to \infty}x_n = a \in \R
\quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad
\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall n (n > \delta \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon)

и последовательности, предел которой равен +\infty:


\lim_{n \to \infty}x_n = +\infty
\quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad
\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall n (n > \delta \Rightarrow x_n > \varepsilon)

Отдельно формулируются понятия предела функции при x \to a \in \mathbb{R}


\lim_{x \to a}f(x) = A
\quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad
\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x (\left | x-a \right |< \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon)

и предела при x \to +\infty:

Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): \lim_{x \to +\infty}f(x) = A \quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x (x >  \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon)

Эти соображения наводят на мысль рассматривать бесконечности +\infty и -\infty как равноправные члены системы \overline{\mathbb{R}}, наряду с конечными числами. Благодаря этому достигается единообразие в формулировках и доказательствах теорем математического анализа.

Упорядоченность Править

См. также основную статью: Частично упорядоченное множество

Множество вещественных чисел \mathbb{R} линейно упорядоченно по отношению \leqslant. Однако в \mathbb{R} нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то ее расширение до системы \overline{\mathbb{R}} как раз состоит в добавлении максимального (+\infty) и минимального (-\infty) элементов. Благодаря этому, в системе \overline{\mathbb{R}} всякой непустое множество имеет точную верхную грань (конечную, если множество ограничено сверху, и +\infty, если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов +\infty и -\infty.

Топология расширенной числовой прямой Править

См. также основную статью: Топологическое пространство

Открытые множества и окрестности Править

Отношение порядка < порождает топологию \tau на \overline{\mathbb{R}}. В топологии \tau открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов

Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): (\alpha,\beta) = \{x \in \overline{\mathbb{R}} \colon \alpha < x < \beta\}, \quad  (\alpha, +\infty] = \{ x \in \overline{\mathbb{R}} \colon x > \alpha\}, \quad  [-\infty, \beta) = \{ x \in \overline{\mathbb{R}} \colon x < \beta\},

где \alpha, \beta \in \overline{\mathbb{R}}. Окрестностью U(a) точки a \in \overline{\mathbb{R}} называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии \tau, всякая окрестность точки a включает один из интервалов указанного вида, содержащий a. В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие \varepsilon-окрестности U_{\varepsilon} (a) точки расширенной числовой прямой (\varepsilon > 0). В случае a \in \mathbb{R}, то есть когда a является числом, \varepsilon-окрестностью a называется множество


U_{\varepsilon} (a) \overset{\mathrm{def}}{=} (a - \varepsilon , a + \varepsilon).

Если же a = +\infty, то


U_{\varepsilon} (+\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left( \frac{1}{\varepsilon}, +\infty \right],

а если a = -\infty, то


U_{\varepsilon} (-\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left[ -\infty, -\frac{1}{\varepsilon} \right).

Понятие \varepsilon-окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда a является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа \varepsilon соответствующие окрестности уменьшаются: 0 < \varepsilon_1 <\varepsilon_2 \Rightarrow U_{\varepsilon_1}(a) \subset U_{\varepsilon_2}(a).

Пределы Править

В \overline{\mathbb{R}} все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела). Пусть f \colon X \to \overline{\mathbb{R}}, где X \subset \overline{\mathbb{R}}. В частности f может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть x_0, a \in \overline{\mathbb{R}}


\lim_{x \to x_0} f(x)=a \overset{\mathrm{def}}{\iff}
\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in X \; (x \in U_{\delta}(x_0) \Rightarrow f(x) \in U_{\varepsilon}(a))

Компактность Править

\overline{\mathbb{R}}компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел \mathbb{R} является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел \overline{\mathbb{R}} может рассматриваться как двухточечная компактификация \mathbb{R}. При этом \overline{\mathbb{R}} оказывается гомеоформным отрезку [0,1]. Этот факт имеет наглядное геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм f \colon [0,1] \to \overline{\mathbb{R}} задается формулой


f(x) = \operatorname{tg} \left( \pi x - \frac{\pi}{2} \right)

Примечания Править

Шаблон:Примечания

Викия-сеть

Случайная вики