Викия

Математика

Распределение Стьюдента

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Распределение Стьюдента
Плотность вероятности
325px
Функция распределения
325px
Параметры n > 0\! - число степеней свободы
Носитель x \in (-\infty; +\infty)\!
Плотность вероятности \frac{\Gamma((n+1)/2)} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)\,(1+x^2/n)^{(n+1)/2}}\!
Функция распределения \frac{1}{2} + \frac{x \Gamma \left( (n+1)/2 \right) \,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},(n+1)/2;\frac{3}{2};-\frac{x^2}{n} \right)} {\sqrt{\pi n}\,\Gamma (n/2)} где \,_2F_1 - гипергеометрическая функция
Математическое ожидание 0
Медиана 0
Мода 0
Дисперсия \frac{n}{n-2}\! если n>2
Коэффициент асимметрии 0 если n>3
Коэффициент эксцесса \frac{3n - 6}{n-4}\! где n>4
Информационная энтропия \begin{matrix}
         \frac{n+1}{2}\left[ 
             \psi(\frac{1+n}{2}) 
               - \psi(\frac{n}{2})
         \right] \\[0.5em]
+ \log{\left[\sqrt{n}B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\right]}
\end{matrix}
Производящая функция моментов не определена
Характеристическая функция

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей - это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

ОпределениеПравить

Пусть Y_0,Y_1,\ldots, Y_n - независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что Y_i \sim \mathrm{N}(0,1),\; i=1,\ldots, n. Тогда распределение случайной величины t, где

t = \frac{Y_0}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i^2}}

называется распределением Стьюдента с n степенями свободы. Пишут t \sim \mathrm{t}(n). Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

f_t(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi n} \, \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\, \left(1+\frac{y^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}},

где \Gamma - гамма-функция.

Свойства распределения СтьюдентаПравить

  • Распределение Стьюдента симметрично. В частности если t \sim \mathrm{t}(n), то
-t \sim \mathrm{t}(n).

МоментыПравить

Случайная величина t \sim \mathrm{t}(n) имеет только моменты порядков k < n, причём

\mathbb{E}\left[t^k\right] = 0, если k нечётно;
\mathbb{E}\left[t^k\right] = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})\Gamma(\frac{n-k}{2})^{k/2}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})} , если k чётно.

В частности,

\mathbb{E}[t] = 0,
\mathrm{D}[t] = {n \over n - 2}, если n > 2 .

Моменты порядков k \ge n не определены.

Связь с другими распределениямиПравить

\mathrm{t}(1) \equiv \mathrm{C}(0,1) .
  • Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при n \to \infty. Пусть дана последовательность случайных величин \{t_n\}_{n=1}^{\infty}, где t_n \sim \mathrm{t}(n),\; n \in \mathbb{N}. Тогда
t_n \to \mathrm{N}(0,1) по распределению при n \to \infty.
t^2 \sim \mathrm{F}(0,n).

Применение распределения СтьюдентаПравить

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть X_1,\ldots, X_n независимые случайные величины, такие что X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n. Обозначим \bar{X} выборочное среднее этой выборки, а S^2 её выборочную дисперсию. Тогда

\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim \mathrm{t}(n-1).

Процентили Править

См. также основную статью: Процентили распределения Стьюдента
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править
ca:Distribució t de Student

cs:Studentovo rozdělenínl:Studentverdeling pl:Rozkład Studentasu:Sebaran-t student sv:Students t-fördelninguk:T-розподіл Стьюдента

Викия-сеть

Случайная вики