Распределение Стьюдента

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Распределение Стьюдента

Плотность вероятности Файл:Student densite best.JPG
Функция распределения Файл:T distributionCDF.png
Параметры	- число степеней свободы
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения	где - гипергеометрическая функция
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия	если
Коэффициент асимметрии	если
Коэффициент эксцесса	где
Информационная энтропия	, : бета-функция
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей - это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Содержание 1 Определение 2 Свойства распределения Стьюдента 3 Моменты 4 Связь с другими распределениями 5 Применение распределения Стьюдента 6 Процентили

[править] Определение

Пусть - независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где

называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

,

где - гамма-функция.

[править] Свойства распределения Стьюдента

• Распределение Стьюдента симметрично. В частности если , то

.

[править] Моменты

Случайная величина имеет только моменты порядков , причём

, если нечётно;

, если чётно.

В частности,

,

, если .

Моменты порядков не определены.

[править] Связь с другими распределениями

• Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

.

• Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при . Пусть дана последовательность случайных величин , где . Тогда

по распределению при .

• Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть . Тогда

.

[править] Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть независимые случайные величины, такие что . Обозначим выборочное среднее этой выборки, а её выборочную дисперсию. Тогда

.

[править] Процентили

См. также основную статью: Процентили распределения Стьюдента

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

ca:Distribució t de Student

cs:Studentovo rozděleníja:T分布 nl:Studentverdeling pl:Rozkład Studentasu:Sebaran-t student sv:Students t-fördelninguk:T-розподіл Стьюдента zh:學生t-分佈