Викия

Математика

Распределение Пуассона

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Распределение Пуассона
Функция вероятности
Plot of the Poisson PMF
Функция распределения
Plot of the Poisson CMF
Параметры \lambda \in (0,\infty)
Носитель k \in \{0,1,2,\ldots\}
Функция вероятности \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!
Функция распределения \frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!
Математическое ожидание \lambda\,
Медиана N/A
Мода \lfloor\lambda\rfloor
Дисперсия \lambda\,
Коэффициент асимметрии \lambda^{-1/2}\,
Коэффициент эксцесса \lambda^{-1}\,
Информационная энтропия \lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}
Производящая функция моментов \exp(\lambda (e^t-1))\,
Характеристическая функция \exp(\lambda (e^{it}-1))\,


Распределе́ние Пуассо́на моделирует случайную величину, равную числу событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Определение Править

Выберем фиксированное число \lambda > 0 и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda},

где

Тот факт, что случайная величина Y имеет распределение Пуассона с параметром \lambda, записывается: Y \sim \mathrm{P}(\lambda).

Замечание Править

  • Параметр \lambda часто называется интенсивностью (см. Биномиальное приближение).
  • Функция p(k), введённая выше, действительно является функцией вероятности, что следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:
e^{\lambda} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!},\; \forall \lambda \in \mathbb{R},

откуда

\sum\limits_{k=0}^{\infty} p(k) = 1.


Моменты Править

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

M_Y(t) = e^{\lambda \left(e^t -1\right)},

откуда

\mathbb{E}[Y] = \lambda,
\mathrm{D}[Y] = \lambda.

Свойства распределения Пуассона Править

  • Сумма пуассоновских случайных величин так же имеет распределение Пуассона. Пусть Y_i \sim \mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,\ldots,n. Тогда
Y = \sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{P}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right).
Y_1\mid Y = y \sim \mathrm{Bin}\left(y, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right) .

См. также Править

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править
ar:توزيع بواسون

bg:Разпределение на Поасон cs:Poissonovo rozdělenífa:توزیع پواسونhe:התפלגות פואסון hu:Poisson-eloszláslt:Puasono skirstinys nl:Poissonverdeling no:Poissonfordeling pl:Rozkład Poissonasimple:Poisson distribution su:Sebaran Poisson sv:Poissonfördelning uk:Розподіл Пуассона

Викия-сеть

Случайная вики