Распределение Пуассона

Распределение Пуассона

Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	$\lambda \in (0,\infty)$
Носитель	$k \in \{0,1,2,\ldots\}$
Функция вероятности	$\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!$
Функция распределения	$\frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!$
Математическое ожидание	$\lambda\,$
Медиана	N/A
Мода	$\lfloor\lambda\rfloor$
Дисперсия	$\lambda\,$
Коэффициент асимметрии	$\lambda^{-1/2}\,$
Коэффициент эксцесса	$\lambda^{-1}\,$
Информационная энтропия	$\lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}$
Производящая функция моментов	$\exp(\lambda (e^t-1))\,$
Характеристическая функция	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

Распределе́ние Пуассо́на моделирует случайную величину, равную числу событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Определение

Выберем фиксированное число $\lambda > 0$ и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

$p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}$,

где

• $k!$ обозначает факториал,
• $e = 2.718281828\ldots$ — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина $Y$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$, записывается: $Y \sim \mathrm{P}(\lambda)$.

Замечание

• Параметр $\lambda$ часто называется интенсивностью (см. Биномиальное приближение).
• Функция $p(k)$, введённая выше, действительно является функцией вероятности, что следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:

$e^{\lambda} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!},\; \forall \lambda \in \mathbb{R}$,

откуда

$\sum\limits_{k=0}^{\infty} p(k) = 1$.

Моменты

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

$M_Y(t) = e^{\lambda \left(e^t -1\right)}$,

откуда

$\mathbb{E}[Y] = \lambda$,

$\mathrm{D}[Y] = \lambda$.

Свойства распределения Пуассона

• Сумма пуассоновских случайных величин так же имеет распределение Пуассона. Пусть $Y_i \sim \mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,\ldots,n$. Тогда

$Y = \sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{P}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right)$.

• Пусть $Y_i \sim \mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,2$, и $Y = Y_1 + Y_2$. Тогда условное распределение $Y_1$ при условии, что $Y=y$, биномиально. Более точно:

$Y_1\mid Y = y \sim \mathrm{Bin}\left(y, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)$.

См. также

• Биномиальное распределение;
• Пуассон, Симеон Дени.

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

ar:توزيع بواسون bg:Разпределение на Поасон cs:Poissonovo rozdělení fa:توزیع پواسون he:התפלגות פואסון hu:Poisson-eloszlás lt:Puasono skirstinys nl:Poissonverdeling no:Poissonfordeling pl:Rozkład Poissona simple:Poisson distribution su:Sebaran Poisson sv:Poissonfördelning uk:Розподіл Пуассона