Викия

Математика

Распределение Коши

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Распределение Коши
Плотность вероятности
Probability density function for the Cauchy distribtion
Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши
Функция распределения
Cumulative distribution function for the Normal distribution
Цвета находятся в соответствии с графиком выше
Параметры x_0\! - коэффициент сдвига
\gamma > 0\! - коэффициент масштаба
Носитель x \in (-\infty; +\infty)\!
Плотность вероятности \frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!
Функция распределения \frac{1}{\pi} \mathrm{arctg}\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}
Математическое ожидание (не определено)
Медиана x_0
Мода x_0
Дисперсия (не определена)
Коэффициент асимметрии (не определён)
Коэффициент эксцесса (не определён)
Информационная энтропия \ln(4\,\pi\,\gamma)\!
Производящая функция моментов (не определена)
Характеристическая функция \exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)\!

Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Определение Править

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью f_X(x), имеющей вид:

f_X(x) =  \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2  } \right],

где

  • x_0 \in \mathbb{R} — параметр сдвига;
  • \gamma > 0 — параметр масштаба.

Тогда говорят, что X имеет распределение Коши и пишут X \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma). Если x_0 = 0 и \gamma = 1, то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределения Править

Функция распределения Коши имеет вид:

F_X(x) = \frac{1}{\pi} \mathrm{arctg}\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}.

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

F^{-1}_X(x) =  x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\left[\pi\,\left(x-{1 \over 2}\right)\right].

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

Моменты Править

Так как интеграл Лебега

\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{\alpha}\, f_X(x)\, dx

не определён для \alpha \ge 1, ни математическое ожидание, ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойства Править

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{C}(0,1).

Связь с другими распределениями Править

  • Если U \sim U[0,1], то
 x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\left[\pi\,\left(U-{1 \over 2}\right)\right] \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma).
\frac{X_1}{X_2} \sim \mathrm{C}(0,1).
\mathrm{C}(0,1) \equiv \mathrm{t}(1).
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править
cs:Cauchyho rozděleníhu:Cauchy-eloszlásnl:Cauchy-verdeling

pl:Rozkład Cauchy'egosu:Sebaran Cauchy

Викия-сеть

Случайная вики