Распределение Коши
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
| Плотность вероятности Файл:Cauchy distribution pdf.png Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши | |
| Функция распределения Файл:Cauchy distribution cdf.png Цвета находятся в соответствии с графиком выше | |
| Параметры |  - коэффициент сдвига - коэффициент масштаба
|
| Носитель | 
|
| Плотность вероятности | 
|
| Функция распределения | 
|
| Математическое ожидание | (не определено) |
| Медиана | 
|
| Мода |
|
| Дисперсия | (не определена) |
| Коэффициент асимметрии | (не определён) |
| Коэффициент эксцесса | (не определён) |
| Информационная энтропия | 
|
| Производящая функция моментов | (не определена) |
| Характеристическая функция | 
|
Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.
Содержание |
[править] Определение
Пусть распределение случайной величины 
задаётся плотностью 
, имеющей вид:
-
,
где
-
— параметр сдвига;
-
— параметр масштаба.
Тогда говорят, что имеет распределение Коши и пишут 
. Если 
и 
, то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.
[править] Функция распределения
Функция распределения Коши имеет вид:
-
.
Она строго возрастает и имеет обратную функцию:
Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.
[править] Моменты
Так как интеграл Лебега
не определён для 
, ни математическое ожидание, ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.
[править] Другие свойства
- Распределение Коши бесконечно делимо.
- Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если
, то
-
.
[править] Связь с другими распределениями
- Если
, то
-
.
- Если
— независимые нормальные случайные величины, такие что 
, то
-
.
- Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:
-
.
| править | |||||||||||
nl:Cauchy-verdeling pl:Rozkład Cauchy'egosu:Sebaran Cauchy zh:Cauchy分布
