Распределение вероятностей

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

Содержание 1 Определение 2 Способы задания распределений 2.1 Дискретные распределения 2.2 Непрерывные распределения 2.3 Абсолютно непрерывные распределения

[править] Определение

Определение 1. Пусть задано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина . В частности, по определению, является измеримым отображением измеримого пространства в измеримое пространство , где обозначает борелевскую сигма-алгебру на . Тогда случайная величина индуцирует вероятностную меру на следующим образом:

Мера называется распределением случайной величины .

[править] Способы задания распределений

Определение 2. Функция называется (кумулятивной) функцией распределения случайной величины . Из свойств вероятности вытекает

Теорема 1. Функция распределения любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам:

1. - функция неубывающая;
2. ;
3. непрерывна справа.

Из того факта, что борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой порождается семейством интервалов вида , вытекает

Теорема 2. Любая функция , удовлетворяющая трём свойствам, перечисленным выше, является фукцией распределения для какого-то распределения .

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы задания его задания.

[править] Дискретные распределения

Определение 2. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть , где - разбиение .

Распределение простой случайной величины тогда по определению задается: . Введя обозначение , можно задать функцию . Очевидно, что . Используя счётную аддитивность , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение .

Определение 3. Функция , где часто называется дискретным распределением.

Пример 1. Пусть функция задана таким образом, что и . Эта функция задает распределение случайной величины такой, что .

Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

1. ;
2. .

[править] Непрерывные распределения

Непрерывное распределение — распределение вероятностей, не имеющее атомов. Любое распределение вероятностей есть смесь дискретного и непрерывного.

[править] Абсолютно непрерывные распределения

Определение 4. Распределение случайной величины называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция , такая что . Функция тогда называется плотностью распределения случайной величины .

Пример 2. Пусть , когда , и иначе. Тогда , если .

Очевидно, что для любой плотности распределения верно равенство . Верна и обратная

Теорема 4. Если функция такая, что:

1. ;
2. ,

то существует распределение такое, что является его плотностью.

Просто применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к простому соотношению между кумулятивной функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения.

Теорема 5. Если - непрерывная плотность распределения, а - его кумулятивная функция, то

1. 
2. .

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

Эта статья содержит материал из статьи Распределение вероятностей русской Википедии.